Метод Хаусхолдера (отражений) приведения матрицы к двухдиагональной форме

Досмотренная версия этой страницы, подтверждённая 12 июля 2022, была основана на этой версии.

Приведение матрицы к двудиагональному виду методом Хаусхолдера (отражений)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\frac{8 n^3}{3}+O(n^2)[/math]
Объём входных данных	[math]n^2[/math]
Объём выходных данных	[math]n(n + 2)[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]2n^2+O(n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]n^2[/math]

Основные авторы описания: А.В.Фролов.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Хаусхолдера (в советской математической литературе чаще называется методом отражений) используется для приведения симметричных вещественных матриц к двухдиагональному виду, или, что то же самое, для разложения [math]A=QDU^T[/math] ([math]Q, U[/math] - ортогональные, [math]D[/math] — правая двухдиагональная матрица)^[1]. При этом матрицы [math]Q, U[/math] хранятся и используются не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения^[2]. Каждая из матриц отражения может быть определена одним вектором. Это позволяет в классическом исполнении метода отражений хранить результаты разложения на месте матрицы A с использованием двух одномерных дополнительных массивов.

В данной статье рассматривается именно классическое исполнение, в котором не используются приёмы типа сдваивания при вычислениях скалярных произведений.

1.2 Математическое описание алгоритма

В методе Хаусхолдера для выполнения разложения матрицы в произведение двухдиагональной и двух ортогональных используются попеременные умножения слева и справа её текущих модификаций на матрицы Хаусхолдера (отражений).

Матрица отражений (Хаусхолдера) - матрица вида [math]U=E-2ww^*[/math], где [math]w[/math] - вектор, удовлетворяющий равенству [math]w^{*}w=1[/math]. Является одновременно унитарной ([math]U^{*}U=E[/math]) и эрмитовой ([math]U^{*}=U[/math]), поэтому обратна самой себе ([math]U^{-1}=U[/math]).

На [math]i[/math]-м шаге метода с помощью преобразования отражения "убираются" ненулевые поддиагональные элементы в [math]i[/math]-м столбце, а потом (кроме шага с номером [math]i=n-1[/math]) с помощью преобразования отражения "убираются" ненулевые наддиагональные элементы в [math]i[/math]-м столбце, кроме самого левого из них. Таким образом, после [math]n-1[/math] шагов преобразований получается правая двудиагональная [math]D[/math] из разложения матрицы в произведение двудиагональной и двух ортогональных.

На каждом из шагов метода матрицы отражений обычно представляют не в стандартном виде, а в виде [math]U=E-\frac{1}{\gamma}vv^*[/math], где [math]v[/math] находится для левых матриц отражения через координаты текущего [math]i[/math]-го столбца так:

[math]s[/math] - вектор размерности [math]n+1-i[/math], составленный из элементов [math]i[/math]-го столбца, начиная с [math]i[/math]-го.

Если [math](s,s)=0[/math], то [math]v=e_{i}[/math], [math]\gamma = \frac{1}{2}[/math].

В остальных случаях по алгоритму вычисляется [math]u = \frac{1}{\sqrt{(s,s)}}s[/math], и далее [math]v_{j}=0[/math] при [math]j\lt i[/math], [math]v_{j}=u_{j-i+1}[/math] при [math]j\gt i[/math], а [math]v_{i}=1[/math], если [math]u_{1}=0[/math] и [math]v_{i}=\frac{u_{1}}{|u_{1}|}(1+|u_{1}|)[/math] для остальных значений. При этом [math]\gamma = 1+|u_{1}|=|v_{i}|[/math].

После вычисления вектора [math]v[/math] подстолбцы справа от ведущего модифицируются по формулам [math]x'=x-\frac{(x,v)}{\gamma}v[/math].

Аналогично для правых матриц отражений [math]U=E-\frac{1}{\gamma}vv^*[/math] [math]v[/math] находится через координаты текущей [math]i[/math]-й строки так:

[math]s[/math] - вектор размерности [math]n-i[/math], составленный из элементов [math]i[/math]-й строки, начиная с [math]i+1[/math]-го элемента.

Если [math](s,s)=0[/math], то [math]v=e_{i+1}[/math], [math]\gamma = \frac{1}{2}[/math].

В остальных случаях по алгоритму вычисляется [math]u = \frac{1}{\sqrt{(s,s)}}s[/math], и далее [math]v_{j}=0[/math] при [math]j\lt i+1[/math], [math]v_{j}=u_{j-i+2}[/math] при [math]j\gt i+1[/math], а [math]v_{i+1}=1[/math], если [math]u_{1}=0[/math] и [math]v_{i+1}=\frac{u_{1}}{|u_{1}|}(1+|u_{1}|)[/math] для остальных значений. При этом [math]\gamma = 1+|u_{1}|=|v_{i+1}|[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основную часть алгоритма составляют вычисления на каждом шагу скалярных произведений [math](s,s)[/math] и [math](x,v)[/math] для всех подстолбцов [math]x[/math] справа от текущего, а также векторные операции [math]x'=x-\frac{(x,v)}{\gamma}v[/math], и затем вычисления на каждом шагу (кроме шага с номером [math]i=n-1[/math]) скалярных произведений [math](s,s)[/math] и [math](x,v)[/math] для всех подстрок [math]x[/math] снизу от текущей, а также векторные операции [math]x'=x-\frac{(x,v)}{\gamma}v[/math]. Это используется при программировании метода во многих библиотеках для его конструирования из стандартных подпрограмм (например, из BLAS).

1.4 Макроструктура алгоритма

Всё приведение состоит из [math]2n-3[/math] полушагов. Каждый из них состоит из вычисления некоторой матрицы отражений (Хаусхолдера) и умножения на неё матрицы. Строгая последовательность выполнения этих частей полушагов не обязательна, в силу связи получаемых векторов [math]s[/math] и [math]v[/math] можно одновременно с [math](s,s)[/math] вычислять и произведения [math](x,s)[/math] с последующим выражением через них [math](x,v)[/math]. Это позволяет почти вдвое уменьшать критический путь графа алгоритма.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность выполнения алгоритма обычно записывается как последовательное "обнуление" поддиагональных элементов столбцов, начиная с 1-го столбца, заканчивая [math](n-1)[/math]-м, попеременно с последовательным "обнулением" наддиагональных (кроме первой кодиагонали) элементов строк, начиная с 1й строки и заканчивая [math](n-2)[/math]-й

При этом в каждом "обнуляемом" [math]i[/math]-м столбце "обнуляются" сразу все его поддиагональные элементы одновременно, с [math](i+1)[/math]-го до [math]n[/math]-го.

Каждое "обнуление" [math]i[/math]-го столбца состоит из двух шагов: а) вычисление параметров матрицы отражения [math]U_{2i-1}[/math] такой, чтобы при умножении на неё слева "обнулились" все поддиагональные его элементы; б) умножение слева матрицы отражения [math]U_{2i-1}[/math] на текущую версию матрицы.

В каждой "обнуляемой" [math]i[/math]-й строке "обнуляются" сразу все его наддиагональные элементы одновременно, с [math](i+2)[/math]-го до [math]n[/math]-го.

Каждое "обнуление" [math]i[/math]-й строки состоит из двух шагов: а) вычисление параметров матрицы отражения [math]U_{2i}[/math] такой, чтобы при умножении на неё справа "обнулились" все (кроме первого) наддиагональные её элементы; б) умножение справа матрицы отражения [math]U_{2i}[/math] на текущую версию матрицы.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

В последовательной версии основная сложность алгоритма определяется прежде всего вычислениями скалярных произведений векторов, а также модификаций векторов вида [math]x'=x-\alpha v[/math], причем над векторами убывающей по ходу алгоритма размерности. Они, если не учитывать возможную разреженность, составляют (в главном члене) по [math]4n^3/3[/math] операций действительного умножения и сложения/вычитания.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод Хаусхолдера относится к алгоритмам с кубической сложностью.

1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Граф нечётного полушага (обнуление [math]i[/math]го столбца) алгоритма. Квадратики - входные данные шага (берутся с предыдущего полушага), кружки - операции. Зелёным выделены операции типа a+bb, салатовым и голубым - типа a+bc, тёмно-синим - вычисление [math]\gamma , v_{1}[/math], жёлтым - умножения (или деления). Обведённая группа операций повторяется независимо n-i раз. Результаты синего и жёлтых кружков - выходные для алгоритма.

На рисунке 1 изображён граф нечётного ([math](2i-1)[/math]го) полушага в привязке к элементам обрабатываемой матрицы. Граф чётного ([math]2i[/math]го) полушага почти аналогичен, только длина ветвей (нарисована слева) будет меньше на 1 ([math]n-i[/math]), и для привязки к элементам матрицы его надо отразить относительно диагонали матрицы. После этого отражения графы полушагов можно положить друг на друга слоями, при этом правые нижние углы должны быть друг над другом.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для понимания ресурса параллелизма в разложении матрицы порядка [math]n[/math] методом Хаусхолдера нужно рассмотреть критический путь графа.

Как видно из описания разных вершин, вычисления при "обнулении" [math]i[/math]-го столбца параметров отражения и скалярных произведений состоят из основной части - ветви длиной по [math]n-i[/math] умножений и сложений - и коррекции вычислений, которые составляют [math]O(1)[/math] операций. Вычисления при "обнулении" [math]i[/math]-й строки параметров отражения и скалярных произведений состоят из основной части - ветви длиной по [math]n-i-1[/math] умножений и сложений - и коррекции вычислений, которые составляют [math]O(1)[/math] операций.

Поэтому по грубой (без членов низших порядков) оценке критический путь метода Хаусхолдера будет идти через [math]n^2[/math] умножений и [math]n^2[/math] сложений/вычитаний.

Поэтому в параллельном варианте, как и в последовательном, основную долю требуемого для выполнения алгоритма времени будут определять операции вида [math]a+bc[/math].

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод Хаусхолдера относится к алгоритмам с квадратичной сложностью. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет также квадратичной (без расширения ряда ярусов, связанных с векторными операциями сложения, пришлось бы увеличить вдвое длину критического пути; при таком расширении сложность по ширине ЯПФ станет линейной).

Надо сказать, что здесь в оценках речь идёт именно о классическом способе реализации метода Хаусхолдера. Даже использование схем сдваивания или последовательно-параллельных для вычисления скалярных произведений уменьшает критический путь с квадратичного до степени 3/2 или линейно-логарифмического.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: плотная квадратная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]).

Объём входных данных: [math]n^2[/math].

Объём выходных данных: [math]n^2+2n[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности, как хорошо видно, является линейным, что даёт определённый стимул для распараллеливания. Однако у наискорейшей ЯПФ ширина квадратична, что указывает на дисбаланс между загруженностями устройств при попытке её реально запрограммировать. Поэтому более практично даже при хорошей (быстрой) вычислительной сети оставить количество устройств (например, узлов кластера) линейным по размеру матрицы, что удвоит критический путь реализуемой ЯПФ.

При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных, линейна.

Алгоритм в рамках выбранной версии полностью детерминирован.

Вычислительная погрешность в методе отражений (Хаусхолдера) растет линейно, как и в методе Гивенса (вращений).

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

В варианте с кратчайшим критическим путём графа алгоритма (с использованием зависимости между обнуляемым вектором и направляющим вектором отражения) метод Хаусхолдера (отражений) приведения квадратной вещественной матрицы к двудиагональной форме на Фортране 77 можно записать так:

	DO  I = 1, N-1
            DO K = I, N
              SX(K)=A(N,I)*A(N,K)
            END DO
            DO J = N-1, I, -1
               DO K = I, N
                  SX(K)=SX(K)+A(J,I)*A(J,K)
               END DO
            END DO

               ALPHA = SQRT (SX(I))
               IF (A(I,I).NE.0.) THEN
                  BETA = 1./ALPHA
                  DO J = I+1, N
                    A(J,I)=A(J,I)*BETA
                  END DO
                  SX(I) = A(I,I)*BETA+SIGN(1.,A(I,I))                     
                  A(I,I)=ALPHA
                  G=1./ABS(SX(I)) ! 1/gamma
                  DO K = I+1, N
                     SX(K)=SX(K)*BETA*G+SIGN(A(I,K),SX(I))
                     A(I,K) = A(I,K)+SX(K)*SX(I)
                     DO J = I+1, N
                       A (J,K) = A(J,K)-A(J,I)*SX(K)
                     END DO
                  END DO
               ELSE
                  IF (ALPHA.NE.0.) THEN
                     BETA = 1./ALPHA
                     DO J = I+1, N
                       A(J,I)=A(J,I)*BETA
                     END DO
                     SX(I) = -1. 
                     A(I,I)=ALPHA
                     G=1.! 1/gamma
                     DO K = I+1, N
                        SX(K)=SX(K)*BETA*G+SIGN(A(I,K),SX(I))
                        A(I,K) = A(I,K)+SX(K)*SX(I)
                        DO J = I+1, N
                          A (J,K) = A(J,K)-A(J,I)*SX(K)
                        END DO
                     END DO
                  ELSE
                     SX(I)=1
                     G=2
                     DO K = I+1, N
                        SX(K)=2
                        A(I,K) = A(I,K)-SX(K)
                     END DO
                  END IF
               END IF               

              IF (I.LT.N-1) THEN

            DO K = I, N
              SL(K)=A(I,N)*A(K,N)
            END DO
            DO J = N-1, I+1, -1
               DO K = I, N
                  SL(K)=SL(K)+A(I,J)*A(K,J)
               END DO
            END DO

               ALPHA = SQRT (SL(I))
               IF (A(I,I+1).NE.0.) THEN
                  BETA = 1./ALPHA
                  DO J = I+2, N
                    A(I,J)=A(I,J)*BETA
                  END DO
                  SL(I) = A(I,I+1)*BETA+SIGN(1.,A(I,I+1))                     
                  A(I,I+1)=ALPHA
                  G=1./ABS(SL(I)) ! 1/gamma
                  DO K = I+1, N
                     SL(K)=SL(K)*BETA*G+SIGN(A(K,I+1),SL(I))
                     A(K,I+1) = A(K,I+1)+SL(K)*SX(I)
                     DO J = I+2, N
                       A (K,J) = A(K,J)-A(I,J)*SL(K)
                     END DO
                  END DO
               ELSE
                  IF (ALPHA.NE.0.) THEN
                     BETA = 1./ALPHA
                     DO J = I+2, N
                       A(I,J)=A(I,J)*BETA
                     END DO
                     SL(I) = -1. 
                     A(I,I+1)=ALPHA
                     G=1. ! 1/gamma
                     DO K = I+1, N
                        SL(K)=SL(K)*BETA*G+SIGN(A(K,I+1),SL(I))
                        A(K,I+1) = A(K,I+1)+SL(K)*SL(I)
                        DO J = I+2, N
                          A (K,J) = A(K,J)-A(I,J)*SL(K)
                        END DO
                     END DO
                  ELSE
                     SL(I)=1
                     G=2.
                     DO K = I+1, N
                        SL(K)=2.
                        A(K,I+1) = A(K,I+1)-SL(K)
                     END DO
                  END IF
               END IF   

              END IF
	END DO

В этом варианте D расположена в диагонали и верхней кодиагонали массива A, направляющие вектора матриц отражений размещены в поддиагональных элементах соответствующих столбцов или надддиагональных - строк, а их первые элементы - в элементах массивов SX и SL.

Обычно же в последовательных версиях коэффициенты модификаций столбцов вычисляются целиком через скалярные произведения после вычислений параметров матрицы отражения. При этом схема чуть проще. Удлиняется критический путь графа, но для последовательных реализаций это неважно.

2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Большинство пакетов от LINPACKа и LAPACKa до SCALAPACKa используют для приведения матриц к двудиагональному виду именно метод Хаусхолдера, правда, в различных модификациях (обычно с использованием BLAS). Существует большая подборка исследовательских работ по блочным версиям.

2.3 Результаты прогонов

2.4 Выводы для классов архитектур

В сравнении с методом Гивенса, который имеет естественное двумерное блочное разбиение на основе точечного метода, метод Хаусхолдера из-за худших характеристик локальности (наличие пучков рассылок) и меньшего количества независимых обобщённых развёрток графа не так хорош для реализаций на системах с распределённой памятью, как для систем с общей памятью. Поэтому на массово параллельных системах с распределённой памятью следует применять метод Хаусхолдера (если уж именно его нужно реализовать) не в точечной версии, а в разрабатываемых исследователями блочных вариантах. Следует отметить, что эти варианты - не блочная нарезка описанного метода, а самостоятельные методы. Особенно их применение рекомендуется в случаях с большой разрежённостью матрицы.

3 Литература

↑ В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
↑ Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

[1] В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

[VOLA-2] Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

[1]

[2]