Участник:Popko Fedor/Параллельная реализация явной разностной схемы для решения уравнения теплопроводности

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Явная разностная схема для решения уравнения теплопроводности с правой частью предназначена для моделирования процессов теплопередачи в материале с учётом внешнего источника тепла. Уравнение теплопроводности с правой частью имеет вид:

$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x, t),$

где $u(x, t)$ — температура в точке $x$ в момент времени $t$, $a$ — коэффициент теплопроводности материала, $f(x, t)$ — правая часть, описывающая внешний источник или сток тепла. Также необходимо задать:

1. Граничные условия:

Граничные условия задаются на краях области $x = 0$ и $x = L$ и бывают нескольких типов.

• Граничные условия первого рода (условия Дирихле):

Граничные условия первого рода устанавливают фиксированные значения температуры на границах области, то есть она поддерживается постоянной и равной заранее заданной функции времени.

$\begin{cases} u(0, t) = u_{\text{left}}(t), \\ u(L, t) = u_{\text{right}}(t), \end{cases}$

где $u_{\text{left}}(t)$ и $u_{\text{right}}(t)$ — заданные значения температуры на левой и правой границах области.

• Граничные условия второго рода (условия Неймана):

Граничные условия второго рода определяют тепловой поток через границы области, то есть устанавливают значение производной температуры по нормали к поверхности. Это означает, что на границах тепловой поток поддерживается постоянным.

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=0} = q_{\text{left}}(t), \\ \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=L} = q_{\text{right}}(t), \end{cases}$

где $q_{\text{left}}(t)$ и $q_{\text{right}}(t)$ — заданные значения теплового потока на левой и правой границах.

2. Начальные условия:

Задаются для всего стержня при начальном времени $t = 0$: $u(x, 0) = u_0(x),$ где $u_0(x)$ — начальное распределение температуры по всей длине стержня.

Далее будем рассматривать граничные условия первого рода равные нулю. Тогда итоговая система будет иметь вид:

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x, t), & 0 \lt x \lt L, \, t \gt 0, \\ u(0, t) = u(L, t) = 0, \\ u(x, 0) = u_0(x), & 0 \leq x \leq L . \end{cases}$

1.2 Математическое описание алгоритма

Для явной разностной схемы приближаем производные конечными разностями на каждом временном шаге, обновляя $u(x, t)$ в каждой точке сетки по пространству, используя значения с предыдущего временного шага. Пусть $\Delta x$ — шаг по пространству, а $\Delta t$ — шаг по времени.

1. Аппроксимация производной по пространству:

Вторую производную по $x$ можно аппроксимировать следующим образом: $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^2},$ где $u_i^n$ — значение температуры в узле $i$ на временном слое $n$.

2. Аппроксимация производной по времени:

Первую производную по $t$ можно аппроксимировать так: $\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}.$

3. Схема явного метода:

Подставляем аппроксимации производных в исходное уравнение теплопроводности:

$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = a \frac{u_{i+1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^2} + f(x_i, t_n).$

Теперь выразим $u_i^{n+1}$:

$u_i^{n+1} - u_i^n = \Delta t \cdot \left( a \frac{u_{i+1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^2} + f(x_i, t_n) \right).$

$u_i^{n+1} = u_i^n + \Delta t \cdot \left( a \frac{u_{i+1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^2} + f(x_i, t_n) \right).$

У нас получилось явное выражение для $u_i^{n+1}$, которое позволяет вычислить температуру в узле $i$ на следующем временном слое, используя значения с текущего временного слоя $n$.

4. Граничные условия:

Устанавливаем граничные условия для расчёта на краях области, в зависимости от физической постановки задачи, например, $u(0, t) = 0$ и $u(L, t) =0$ для закрепленных концов стержня.

5. Начальные условия:

Начальные условия для температуры по всему стержню $u(x, 0) = u_0(x)$ для начального распределения температуры. В результате, итоговая система уравнений для каждого временного слоя $n+1$ и каждого узла $i$ в сетке может быть записана как:

$\begin{cases} u_i^{n+1} = u_i^n + \Delta t \cdot \left( a \frac{u_{i+1}^n - 2 u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} + f(x_i, t_n) \right), i = 1, \dots, L-1, \\ u_0^{n+1} = u_L^{n+1} = 0, \\ u_i^0 = u_0(x_i), i = 0, \dots, L. \end{cases}$