Участник:Даниил Глазков/Алгоритм кластеризации DBSCAN
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм DBSCAN (Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise) — это алгоритм кластеризации, предназначенный для решения задачи обнаружения плотных областей в пространстве данных и выделения их как кластеров. Этот алгоритм относится к классу алгоритмов плотностной кластеризации, где основным критерием для объединения точек в кластеры является их плотность.
В отличие от алгоритмов, основанных на минимизации расстояний между точками (например, K-средних), DBSCAN автоматически определяет количество кластеров и не требует задания их количества заранее. Кроме того, DBSCAN хорошо справляется с шумами и выбросами, поскольку точки, не принадлежащие к плотным областям, маркируются как шумовые.
Особенности объектов, с которыми работает DBSCAN:
- Входные данные представлены набором точек в пространстве, где каждая точка характеризуется набором признаков. Для двухмерного пространства точки могут быть представлены как (x, y), но алгоритм также применим и для данных с большим числом признаков.
- Алгоритм подходит для плотностных структур, где кластеры имеют разную форму и размеры, что делает его особенно полезным для географических и пространственных данных.
Основные параметры DBSCAN:
- eps — радиус, в пределах которого точки считаются соседними и могут быть включены в один кластер.
- minPts — минимальное количество точек, необходимых для того, чтобы область считалась "плотной" и могла образовать кластер.
Алгоритм выделяет три типа точек:
1. Ядровые точки: точки, которые имеют по меньшей мере minPts соседей в радиусе eps. Эти точки образуют ядро кластера.
2. Граничные точки: точки, которые находятся в радиусе eps от ядровой точки, но сами не обладают достаточным количеством соседей, чтобы быть ядровыми.
3. Шумовые точки: точки, которые не принадлежат ни к одному кластеру, так как не попадают в плотные области.
DBSCAN широко применяется в задачах с нерегулярной структурой данных и особенно полезен в задачах обработки пространственных данных и аномалий.
1.2 Математическое описание алгоритма
Пусть имеется множество точек \mathcal{D} = \{p_1, p_2, \dots, p_n\} в d-мерном пространстве, где каждая точка p_i \in \mathbb{R}^d характеризуется d признаками. Определим формально параметры:
1. Радиус eps > 0.
2. Параметр плотности minPts \in \mathbb{N} , указывающий минимальное количество точек, необходимых для формирования кластера.
Для каждой точки p_i \in \mathcal{D} , определим её eps-окрестность:
N_{\varepsilon}(p_i) = \{p_j \in \mathcal{D} \mid d(p_i, p_j) \leq \varepsilon\}
где d(p_i, p_j) — метрика расстояния, например, Евклидово расстояние.
Для определения точек в терминах DBSCAN вводятся следующие условия:
- Ядровая точка: точка p_i считается ядровой, если |N_{\varepsilon}(p_i)| \geq minPts .
- Граничная точка: точка p_j считается граничной, если p_j находится в \eps-окрестности ядровой точки, но сама не является ядровой.
- Шумовая точка: точка <marh> p_k </math> не является ни ядровой, ни граничной, если |N_{\varepsilon}(p_k)| \lt minPts и она не принадлежит eps-окрестности ни одной из ядровых точек.
Процесс кластеризации:
1. Для каждой точки p_i \in \mathcal{D} :
- Если p_i является ядровой точкой, то создаётся новый кластер C.
- Все точки в eps-окрестности p_i добавляются в кластер C.
- Процесс расширения продолжается рекурсивно для всех ядровых точек в окрестности.
2. Граничные точки добавляются в кластеры, если они находятся в окрестности eps хотя бы одной ядровой точки, но не создают новые кластеры.
3. Все оставшиеся точки, не принадлежащие ни одному кластеру, считаются шумовыми.
Таким образом, DBSCAN создает множество кластеров \{C_1, C_2, \dots, C_k\} , где k — количество обнаруженных кластеров, а точки, не входящие ни в один из C_i , классифицируются как шумовые точки.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Основные этапы ядра алгоритма:
1. Разделение данных Набор данных D разбивается на несколько непересекающихся подмножеств D_1, D_2, \ldots, D_k . При этом каждая часть данных обрабатывается независимо, что позволяет эффективно распределить вычисления между узлами параллельной
2. Локальное выполнение DBSCAN На каждом подмножестве D_i выполняется локальная версия алгоритма DBSCAN:
- Поиск \varepsilon -соседей для каждой точки в D_i .
- Проверка, является ли точка плотностным ядром в рамках текущего подмножества D_i .
- Формирование локальных кластеров.
Эти операции аналогичны стандартному алгоритму DBSCAN, но выполняются только на локальных подмножествах, что снижает вычислительную сложность в каждом
3. Слияние границ кластеров После обработки всех подмножеств необходимо объединить кластеры, пересекающие границы D_i и D_j . Это достигается путём:
- Обмена информации о точках на границах подмножеств между процессами.
- Слияния пересекающихся кластеров в единый кластер.
Основное вычислительное ядро
С учётом разделения данных вычислительное ядро состоит из двух ключевых частей:
1. Локальный поиск \varepsilon -соседей и формирование кластеров в каждом D_i :
N_i(P) = \{ Q \in D_i \mid dist(P, Q) \leq \varepsilon \} где dist(P, Q) — метрика расстояния.
2. Слияние кластеров на границах:
Если точка P \in D_i имеет соседей в D_j , то выполняется проверка пересечения кластеров: \text{Если } P \text{ и } Q \in D_j \text{ находятся на расстоянии } \leq \varepsilon, \text{ то их кластеры объединяются.}
1.4 Макроструктура алгоритма
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
1.6 Последовательная сложность алгоритма
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Масштабируемость алгоритма и его реализации
2.2 Существующие реализации алгоритма
3 Литература
1. Воеводин Вл., Жуматий С., Соболев С., Антонов А., Брызгалов П., Никитенко Д., Стефанов К., Воеводин Вад. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» // Открытые системы, 2012, № 7, С. 36-39.
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165178123002159#sec0002