Обратная подстановка (вещественный вариант)

1 Описание свойств и структуры алгоритма

1.1 Словесное описание алгоритма

Обратный ход метода Гаусса - решение СЛАУ $Ux = y$ с правой треугольной матрицей $U$. Матрица $U$ - одна из составляющих матрицы $A$ и получается либо из $LU$-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, разложение Холецкого и др.), либо из других разложений. В силу треугольности $U$ решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.

1.2 Математическое описание

Исходные данные: правая треугольная матрица $U$ (элементы $u_{ij}$), вектор правой части $y$ (элементы $y_{i}$).

Вычисляемые данные: вектор решения $x$ (элементы $x_{i}$).

Формулы метода:

[math] \begin{align} x_{n} & = \frac{y_{n}{u_{nn}} \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]