Биномиальная модель оценки опционов

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Биномиальная модель оценки опциона – итерационный метод, моделирующий цену опциона на временном отрезке, когда опцион действителен. Для некоторых типов опционов, например, американского, это единственный способ оценки, так как точное решение, позволяющее предсказать цену на всем временном отрезке, неизвестно.

Если быть точнее, биномиальная модель представляет эволюцию цены базового актива опциона как двоичное дерево всех возможных цен при равномерном разбиении временного отрезка с сегодняшнего дня, с предположением, что на каждом шаге цена может только расти либо падать на фиксированное число с соответствующими вероятностями [math]p_u[/math] и [math]p_d[/math]. Другими словами, корнем дерева является сегодняшняя цена базового актива, каждый уровень представляет собой все возможные цены в данный момент времени. У каждого узла со значением [math]S[/math] есть два дочерних со значениями [math]Su[/math] и [math]Sd, u,d[/math] – множители движения цены вверх и вниз соответственно за один шаг по времени [math]dT[/math]. [math]u[/math] и [math]d[/math] зависят от волатильности [math]\sigma[/math]:

[math]u = e^{\sigma\sqrt{dT}}, d = e^{-\sigma\sqrt{dT}}, ud = 1.[/math]

[math]p_d = 1 - p_u, p_u[/math] ищется в предположении, что за [math]dT[/math] доходность базового актива в среднем такая же, как и при отсутствии риска, то есть если в момент времени [math]t[/math] стоимость базового актива [math]S[/math], то в момент времени [math]t + dT[/math] она будет равна [math]Se^{rdT}[/math], где [math]r[/math] - процентная ставка. Получается следующее уравнение:

[math]Se^{rdT} = (Su p_u + Sd p_d)[/math],

откуда [math]p_u = \frac{e^{rdT} - d}{u - d}.[/math]

С помощью такого представления, можно получить цену в любом узле дерева. Для опциона "колл" она равна [math]V_{call} = max\{S - K, 0\}[/math], для "пут" [math]V_{put} = max\{K - S, 0\}[/math], [math]K[/math] - страйк опциона. Сосчитав все возможные цены опциона, начинается движение от листьев к корню по формуле

[math]V_t = (p_uV_{u, t+1} + p_dV_{d, t+1})e^{-rdT}[/math],

где [math]V_t[/math] - цена опциона в некотором узле, [math]V_{u, t+1}, V_{d, t+1}[/math] - цены опциона в дочерних узлах.