Полный метод циклической редукции

Циклическая редукция для трёхдиагональной матрицы, точечный вариант
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n)$
Объём входных данных	$4n-2$
Объём выходных данных	$n$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(log n)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(n)$

Основные авторы описания: А.В.Фролов.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Циклическая редукция - один из вариантов метода исключения неизвестных в приложении к решению СЛАУ вида $Ax = b$, где

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$

Бывает, однако, что при изложении сути методов решения трёхдиагональных СЛАУ элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид

$A = \begin{bmatrix} b_{1} & a_{1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ c_{2} & b_{2} & a_{2} & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & c_{3} & b_{3} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & c_{n-1} & b_{n-1} & a_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & c_{n} & b_{n} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{1} \\ f_{2} \\ \vdots \\ f_{n} \\ \end{bmatrix}$

или, если записывать отдельно по уравнениям, то

$b_{1} x_{1} + a_{1} x_{2} = f_{1}$,

$c_{i} x_{i-1} + b_{i} x_{i} + a_{i} x_{i+1} = f_{i}, 2 \le i \le n-1$,

$c_{n} x_{n-1} + b_{n} x_{n} = f_{n}$.

Циклическая редукция, как и все варианты прогонки, заключается в исключении из уравнений неизвестных, однако, в отличие от них, в ней исключение ведут одновременно по всей СЛАУ. В принципе, её можно считать вариантом метода редукции, выполняемого максимально возможное для данной СЛАУ число раз.

1.2 Математическое описание алгоритма

Лучше всего схема циклической редукции разработана для случая $n = 2^{m}-1$. Эта схема состоит из прямого и обратного ходов. Прямой ход состоит из последовательного уменьшения в СЛАУ количества уравнений почти в 2 раза (за счёт подстановки из уравнений с нечётными номерами заменяются уравнения с чётными), пока не останется одно уравнение, обратный - в получении всё большего количества компонент решения исходной СЛАУ. Оба хода - как прямой, так и обратный - разбиты на шаги. Здесь мы приведём тот вариант алгоритма, в котором операции экономятся за счёт предварительной нормировки уравнений, используемых для исключения неизвестных.

1.2.1 Прямой ход редукции

В начале считается, что все $c^{(0)}_{i} = c_{i}, b^{(0)}_{i} = b_{i}, a^{(0)}_{i} = a_{i}, f^{(0)}_{i} = f_{i}, x^{(0)}_{i} = x_{i}$

На k-м шаге теперь выполняем процедуру редукции системы уравнений размерности n.

Для каждого из уравнений

$c^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i-1} + b^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i} + a^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i+1} = f^{(k)}_{i}$

с нечётными $i$ с помощью деления уравнения на $b^{(k)}_{i}$ выполняется его замена на уравнение

$(c^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}) x^{(k)}_{i-1} + x^{(k)}_{i} + (a^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}) x^{(k)}_{i+1} = f^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}$

Уравнение

$b^{(k)}_{1} x^{(k)}_{1} + a^{(k)}_{1} x^{(k)}_{2} = f^{(k)}_{1}$

аналогично меняется на уравнение

$x^{(k)}_{1} + (a^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}) x^{(k)}_{2} = f^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}$:

а уравнение

$c^{(k)}_{n} x^{(k)}_{n-1} + b^{(k)}_{n} x^{(k)}_{n} = f^{(k)}_{n}$

меняется на уравнение

$(c^{(k)}_{n}/b^{(k)}_{n}) x^{(k)}_{n-1} + x^{(k)}_{n} = f^{(k)}_{n}/b^{(k)}_{n}$:

Для каждого же из уравнений

$c^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i-1} + b^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i} + a^{(k)}_{i} x^{(k)}_{i+1} = f^{(k)}_{i}$

с чётными $i$ (кроме $2$ и $n-2$) выполняется, с учётом $x^{(k+1)}_{i/2} = x^{(k)}_{i}$ его замена на уравнение

$c^{(k+1)}_{i/2} x^{(k+1)}_{(i-2)/2} + b^{(k+1)}_{i/2} x^{(k+1)}_{i/2} + a^{(k+1)}_{i/2} x^{(k+1)}_{(i+2)/2} = f^{(k+1)}_{i/2}$

при этом

$c^{(k+1)}_{i/2} = - c^{(k)}_{i}(c^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1})$,

$a^{(k+1)}_{i/2} = - a^{(k)}_{i}(a^{(k)}_{i+1}/b^{(k)}_{i+1})$,

$b^{(k+1)}_{i/2} = b^{(k)}_{i} - c^{(k)}_{i}(a^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1}) - a^{(k)}_{i}(c^{(k)}_{i+1}/b^{(k)}_{i+1})$,

$f^{(k+1)}_{i/2} = f^{(k)}_{i} - c^{(k)}_{i}f^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1} - a^{(k)}_{i}f^{(k)}_{i-1}/b^{(k)}_{i-1}$.

Для 2го уравнения выполняется его замена на уравнение

$b^{(k+1)}_{1} x^{(k+1)}_{1} + a^{(k+1)}_{1} x^{(k+1)}_{(2} = f^{(k+1)}_{1}$

при этом

$a^{(k+1)}_{1} = - a^{(k)}_{2}(a^{(k)}_{3}/b^{(k)}_{3})$,

$b^{(k+1)}_{1} = b^{(k)}_{2} - c^{(k)}_{2}(a^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}) - a^{(k)}_{2}(c^{(k)}_{3}/b^{(k)}_{3})$,

$f^{(k+1)}_{1} = f^{(k)}_{2} - c^{(k)}_{2}f^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1} - a^{(k)}_{2}f^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}$

$n-1$-е уравнение заменяется на

$c^{(k+1)}_{(n-1)/2} x^{(k+1)}_{(n-3)/2} + b^{(k+1)}_{(n-1)/2} x^{(k+1)}_{(n-1)/2} = f^{(k+1)}_{(n-1)/2}$

при этом

$c^{(k+1)}_{(n-1)/2} = - c^{(k)}_{n-1}(c^{(k)}_{n-2}/b^{(k)}_{n-2})$,

$b^{(k+1)}_{(n-1)/2} = b^{(k)}_{n-1} - c^{(k)}_{n-1}(a^{(k)}_{n-2}/b^{(k)}_{n-2}) - a^{(k)}_{n-1}(c^{(k)}_{n}/b^{(k)}_{n})$,

$f^{(k+1)}_{(n-1)/2} = f^{(k)}_{n-1} - c^{(k)}_{n-1}f^{(k)}_{n-2}/b^{(k)}_{n-2} - a^{(k)}_{n-1}f^{(k)}_{n-2}/b^{(k)}_{n-2}$.

По окончании всех этих манипуляций размерность k+1-й СЛАУ оказывается равной $(n-1)/2$.

Шаги повторяются до тех пор, пока после $m-1$ шагов редукции размерность СЛАУ не становится равной 1 и остаётся одно уравнение

$b^{(m-1)}_{1} x^{(m-1)}_{1} = f^{(m-1)}_{1}$

1.2.2 Обратный ход редукции

Из последнего уравнения, полученного прямым ходом, вычисляется

$x^{(m-1)}_{1} = f^{(m-1)}_{1}/b^{(m-1)}_{1}$

Теперь, последовательно уменьшая верхние индексы неизвестных, используется нечётные уравнения каждого шага для вычисления неизвестных с соотвествующими нечётными номерами. Чётные неизвестные получаются из тождеств $x^{(k)}_{i} = x^{(k+1)}_{i/2}$, а для нечётных $i$

$x^{(k)}_{i} = f^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i} - (c^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}) x^{(k)}_{i-1} - (a^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}) x^{(k)}_{i+1}$

c "левого края" системы будет

$x^{(k)}_{1} = f^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1} - (a^{(k)}_{1}/b^{(k)}_{1}) x^{(k)}_{2}$

а с "правого"

$x^{(k)}_{n} = f^{(k)}_{n}/b^{(k)}_{n} - (c^{(k)}_{n}/b^{(k)}_{n}) x^{(k)}_{n-1}$

После вычисления всех $x^{(0)}_{i}$ значения искомых неизвестных $x_{i} = x^{(k)}_{i}$.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Видно, что, поскольку вычисляемые на каждом шаге прямого хода редукции при преобразовании нечётных уравнений отношения коэффициентов

$c^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i} , a^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i} , f^{(k)}_{i}/b^{(k)}_{i}$

почти все используются для преобразований двух чётных уравнений, то при выделении "микровычислений", из которых следует составить шаги редукции и которые составляют его ядро, лучше отнести вычисления этих отношений к предыдущему шагу редукции. Таким образом, на "подготовительном шаге" микроядро будет для каждого $i$ состоять только из трёх делений (кроме $2$ и $n$ - там будет по 2 деления), а затем на каждом последующем шаге редукции для каждого $i$ - из двух умножений и двух вычислений выражений типа $a-bc-de$, с последующими тремя делениями (на "краях" часть этих операций отсутствует или урезана, но общую картину это не очень меняет).

Что касается шагов обратного хода, то там для каждого $i$ рано или поздно выполняется одна операция типа $a-bc-de$ (на "краях" - типа $a-bc$).

Рисунок 1. Микрограф "узла" прямого хода алгоритма циклической редукции

Рисунок 2. Микрограф "узла" обратного хода алгоритма циклической редукции

1.4 Макроструктура алгоритма

Рисунок 2. Граф алгоритма циклической редукции при n=15.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Метод циклической редукции изначально спроектирован для параллельного исполнения, поскольку является по отношению к, например, классической прогонке, алгоритмом с избыточными вычислениями. Поэтому смысла в его последовательной реализации не очень много и они не встречаются в библиотеках программ.