Участник:KibAndrey/Ортогонализация Грама-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^3)[/math]
Объём входных данных	[math][/math]
Объём выходных данных	[math][/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math][/math]

Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: [math]k[/math] векторов [math]\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}[/math] длины [math]n[/math] ([math]\alpha_{ij}[/math], [math]j=1,2,...,n[/math], — координаты вектора [math]\mathbf{a_i}[/math] ).

Вычисляемые данные:

[math]k[/math] ортогональных векторов [math]b_1,b_2,...,b_n[/math] длины [math]n[/math], причем [math]b_1=a_1[/math] либо

[math]k[/math] ортонормированных векторов [math]\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},...,\mathbf{e_n}[/math] длины [math]n[/math], причем [math]e_1=\frac{a_1}{|a_1|}[/math]

Формулы процесса ортогонализации:

[math] \begin{align} \mathbf{b_{1}} & =\mathbf{a_{1}}, \\ \mathbf{b_{2}}& =\mathbf{a_{2}}-proj_{\mathbf{b_1}}\mathbf{a_{1}}, \\ & ...\\ \mathbf{b_{\; i \;}} & = \mathbf{a_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{j}},\\ & ...\\ \mathbf{b_{n}} & =\mathbf{ a_{n}}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{j}},\\ \end{align} [/math]

Здесь [math]proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{j}}[/math], для [math]j=1,...,n-1[/math] — проекция вектора [math]\mathbf{a_{j}}[/math] на направление вектора [math]\mathbf{b_{j}}[/math].

Cуществует также модифицированная версия алгоритма, однако в данном описании разобран только классический алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

[math] \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\ \end{align} [/math]

3 Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Процесс_Грама_―_Шмидта – Электрон. дан. – URL [1] (дата обращения 18.09.2016)