Участник:Бротиковская Данута/Алгоритм k-means

Алгоритм k средних (k means)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(\Tau*k*n*d)[/math]
Объём входных данных	[math] n*d [/math]
Объём выходных данных	[math] n [/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n^2)[/math]

Авторы страницы Данута Бротиковская и Денис Зобнин

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм k средних (k means) -- наиболее популярный метод кластеризации. Был изобретен в 1950-х годах математиком Гуго Штейнгаузом и почти одновременно Стюартом Ллойдом. Особую популярность приобрел после публикации работы МакКуина в 1967. Цель алгоритма заключается в разделении N наблюдений на k кластеров таким образом, чтобы каждое наблюдение придележало ровно одному кластеру, расположенному на наименьшем расстоянии от наблюдения.

1.2 Математическое описание алгоритма

Дан набор из [math]n[/math] d-мерных векторов [math]X=\{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n\}[/math]. Алгоритм k средних разбивает набор [math]X[/math] на [math]k, k\lt =n[/math] наборов [math]S=\{S_1, S_2, ..., S_k\}, S_i \cap S_j= \varnothing, i \ne j, [/math] таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра. Другими словами:

[math]\arg\min_{S} \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{x \in S_i} \lVert \mathbf{x}- \mathbf{\mu}_i \rVert^2[/math],

где [math]\mathbf{\mu}_i[/math]- центры кластеров, [math]i=\overline{1,k}[/math]

Шаги алгоритма:

1. Начальный шаг: инициализация кластеров

   Выбирается произвольное множество точек [math]\mu_i, i=\overline{1,k}[/math], рассматриваемых как начальные центры кластеров.

2. Распределение векторов по кластерам

   [math]\forall \mathbf{x}_i \in X, i=\overline{1,n}: \mathbf{x}_i \in S_j \iff j=\arg\min_{k}||\mathbf{x}_i-\mathbf{\mu}_k||^2[/math]

3. Пересчет центров кластеров

   [math] \forall i=\overline{1,k}: \widetilde{\mu_i} = \cfrac{1}{|S_i|}\sum_{x\in S_i}x[/math]

4. Проверка условия останова:

      if [math]\exist i\in \overline{1,k}: \mu_i \ne \widetilde{\mu_i}[/math] then
          goto 2;
      else
          stop
   

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром являются шаги 2 и 3 приведенного выше алгоритма: распределение векторов по кластерам и пересчет центров кластеров.

Распределение векторов по кластерам предполагает вычисление расстояний между каждым вектором [math]\mathbf{x}_i \in X, i= \overline{1,n}[/math] и центрами кластера [math]\mathbf{\mu}_j, j= \overline{1,k}[/math]. Таким образом, данный шаг предполагает [math]k*n[/math] вычислений расстояний между d-мерными векторами.

Пересчет центров кластеров предполагает [math]k[/math] вычислений центров масс [math]\mathbf{\mu}_i[/math] множеств [math]S_i, i=\overline{1,k}[/math] представленных выражением в шаге 3 представленного выше алгоритма.

1.4 Макроструктура алгоритма

Инициализация центров масс [math]\mu_1, ..., \mu_k[/math].

Наиболее распространенными являются следующие стратегии:

• Метод Forgy
  В качестве начальных значений [math]\mu_1, ..., \mu_k[/math] берутся случайно выбранные векторы.
• Метод случайно разделения (Random Partitioning)
  Для каждого вектора [math]x_i \in X, i=\overline{1, n}[/math] выбирается случайным образом кластер [math]S_1, ..., S_k[/math], после чего для каждого полученного кластера вычисляются значения [math]\mu_1, ..., \mu_k[/math].

Распределение векторов по кластерам

Для этого шага алгоритма между векторами [math]x_i \in X, i=\overline{1, n}[/math] и центрами кластеров [math]\mu_1, ..., \mu_k[/math] вычисляется расстояние по формуле:

[math]\rho(\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}) = \lVert \mathbf{v_1}- \mathbf{v_2} \rVert^2[/math] (2)

Пересчет центров кластеров

Для этого шага алгоритма производится пересчет центров кластера по формуле:

[math] \mu = \cfrac{1}{|S|}\sum_{x\in S}x[/math]

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

algorithm k-means is
    1. Инициализировать центры кластеров [math]\mathbf{\mu}_i^{(1)}, i=\overline{1,k}[/math]
    2. [math]t \leftarrow 1[/math]
    3. Распределение по кластерам

       [math]S_i^{(t)}=\{\mathbf{x}_p: \lVert\mathbf{x}_p-\mathbf{\mu}_i^{(t)}\rVert^2 \leq \lVert\mathbf{x}_p-\mathbf{\mu}_j^{(t)}\rVert^2 \quad \forall j=\overline{1,k}\},[/math]

       где каждый вектор [math]\mathbf{x}_p[/math] соотносится единственному кластеру [math]S^{(t)}[/math]
    4. Обновление центров кластеров

       [math]\mathbf{\mu}_i^{(t+1)} = \frac{1}{|S^{(t)}_i|} \sum_{\mathbf{x}_j \in S^{(t)}_i} \mathbf{x}_j [/math]

    5. if [math]\exist i \in \overline{1,k}: \mathbf{\mu}_i^{(t)} \ne \mathbf{\mu}_i^{(t+1)}[/math] then
           goto 3;
       else
           stop

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Обозначим [math]\Theta_{centroid}^{d, m}[/math] временную сложность вычисления центорида кластера, число элементов которого равна [math]m[/math], в d-мерном пространстве;

Аналогично [math]\Theta_{distance}^d[/math] – временная сложность вычисления расстояния между двумя d-мерными векторами.

Сложность шага инициализации k кластеров размера m в d-мерном пространстве, [math]\Theta_{init}^{k, d, m}[/math]

Стратерия Forgy: вычисления не требуются, [math]\Theta_{init}^{k, d, m} = 0[/math]

Стратегия случайного разбиения: вычисление центров k кластеров, [math]\Theta_{init}^{k, d, m} = k*\Theta_{centroid}^{d, m}, m \le n[/math]

Cложность шага распределения d мерных векторов по k кластерам, [math]\Theta_{distribute}^{k, d}[/math]

На этом шаге для каждого вектора [math]x_i \in X, i=\overline{1, n}[/math] вычисляется k расстояний до центров кластеров [math]\mu_1, ...\mu_k[/math]

[math]\Theta_{distribute}^{k, d} = n*k*\Theta_{distance}^d[/math]

Сложность шага пересчета центров k кластеров размера m в d-мерном пространстве, [math]\Theta_{recenter}^{k, d, m}[/math]

На этом шаге вычисляется k центров кластеров [math]\mu_1, ...\mu_k[/math]

[math]\Theta_{recenter}^{k, d, m} = k*\Theta_{centroid}^{d, m}[/math]

Рассчитаем [math]\Theta_{centroid}^{d, m}[/math] для кластера, число элементов которого равно m

[math]\Theta_{centroid}^{d, m}[/math] = [math]m * d[/math] сложений + [math]d[/math] делений

Рассчитаем [math]\Theta_{distance}^d[/math] в соответствие с формулой (2)

[math]\Theta_{distance}^d[/math] = [math]d[/math] вычитаний + [math]d[/math] умножений + [math](d-1)[/math] сложение

Предположим, что алгоритм сошелся за [math]\Tau[/math] итераций, тогда временная сложность алгоритма, [math]\Theta_{k-means}^{d, n}[/math]:

[math]\Theta_{k-means}^{d, n} \le \Theta_{init}^{k, d, n} + \Tau*(\Theta_{distribute}^{k, d} + \Theta_{recenter}^{k, d, n})[/math]

Операции сложения/вычитания:

[math]\Theta_{k-means}^{d, n} \le k*n*d+ \Tau*(k*n*(2d-1) + k*n*d) = k*n*d+ \Tau*(k*n*(3d-1)) \thicksim O(\Tau*k*d*n)[/math]

Операции умножения/деления:

[math]\Theta_{k-means}^{d, n} \le k*d + \Tau*(k*n*d + k*d) = k*d + \Tau * k*d*(n+1) \thicksim O(\Tau*k*d*n) [/math]

В результате получаем, что временная сложность алгоритма k-means кластеризации n d-мерных векторов на k кластеров:

[math] \Theta_{k-means}^{d, n} \thicksim O(\Tau*k*d*n) [/math]

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные

• Целое положительное число [math]k[/math]– количество кластеров.
• Матрица из [math]n*d[/math] элементов – координат векторов (наблюдений).

Объем входных данных
1 целое число + [math]n*d[/math] вещественных чисел (при условии, что координаты – вещественные числа).

Выходные данные
Целые положительные числа – номера кластеров, соотвествующие каждому вектору (при условии, что нумерация кластеров начинается с 1).

Объем выходных данных
[math]n[/math] целых положительных чисел.

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

2.7.1 Открытое программное обеспечение

1. CrimeStat
Программное обеспечение, созданное для операционных систем Windows, предоставляющее инструменты статистического и пространственного анализа для решения задачи картирования преступности.
2. Julia
Высокоуровневый высокопроизводительный свободный язык программирования с динамической типизацией, созданный для математических вычислений, содержит реализацию k-means.
3. Mahout
Apache Mahout - Java библиотека для работы с алгоритмами машинного обучения с использованием MapReduce. Содержит реализацию k-means.
4. Octave
Написанная на C++ свободная система для математических вычислений, использующая совместимый с MATLAB язык высокого уровня, содержит реализацию k-means.
5. Spark
Распределенная реализация k-means содержится в библиотеке Mlib для работы с алгоритмами машинного обучения, взаимодействующая с Python библиотекой NumPy и библиотека R.
6. Torch
MATLAB-подобная библиотека для языка программирования Lua с открытым исходным кодом, предоставляет большое количество алгоритмов для глубинного обучения и научных расчётов. Ядро написано на Си, прикладная часть выполняется на LuaJIT, поддерживается распараллеливание вычислений средствами CUDA и OpenMP. Существуют реализации k-means.
7. Weka
Cвободное программное обеспечение для анализа данных, написанное на Java. Содержит k-means и x-means.
8. Accord.NET
C# реализация алгоритмов k-means, k-means++, k-modes.
9. OpenCV
Написанная на С++ библиотека, направленная в основном на решение задач компьютерного зрения. Содержит реализацию k-means.
10. MLPACK
Масштабируемая С++ библиотека для работы с алгоритмами машинного обучения, содержит реализацию k-means.
11. SciPy
Библиотека Python, содержит множество реализаций k-means.
12. scikit-learn
Библиотека Python, содержит множество реализаций k-means.
13. R
Язык программирования для статистической обработки данных и работы с графикой, а также свободная программная среда вычислений с открытым исходным кодом в рамках проекта GNU, содержит три реализации k-means.
14. ELKI
Java фреймворк, содержащий реализацию k-means, а также множество других алгоритмов кластеризации.

2.7.2 Проприетарное программное обеспечение

1. Ayasdi
2. Stata
3. Mathematica
4. MATLAB
5. SAS
6. RapidMiner
7. SAP HANA

3 Литература

1. MacQueen, James. "Some methods for classification and analysis of multivariate observations." Proceedings of the fifth Berkeley symposium on mathematical statistics and probability. Vol. 1. No. 14. 1967.
2. Steinhaus, Hugo. "Sur la division des corp materiels en parties." Bull. Acad. Polon. Sci 1.804 (1956): 801.
3. Lloyd, S. P. "Least square quantization in PCM. Bell Telephone Laboratories Paper. Published in journal much later: Lloyd, SP: Least squares quantization in PCM." IEEE Trans. Inform. Theor.(1957/1982).
4. Hamerly, G.; Elkan, C. (2002). "Alternatives to the k-means algorithm that find better clusterings" (PDF). Proceedings of the eleventh international conference on Information and knowledge management (CIKM).