Участница:Tameeva.a/Метод Якоби вычисления собственных значений симметричной матрицы

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Якоби вычисления собственных значений симметричной матрицы — итерационный алгоритм, названный в честь предложившего его в 1846 году Карла Густава Якоба Якоби. Исторически старейший метод для решения проблемы собственных значений получил широкое применение только в 1950-х годах с появлением компьютеров. Преимуществом метода является более точное вычисление малых собственных значений по сравнению с конкурирующими алгоритмами.

Суть алгоритма — приведение симметрической матрицы к диагональной с собственными значениями на диагонали путем вращения.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: симметрическая матрица $A=\{a_{ij}\}$.

Вычисляемые данные: диагональная матрица $\Lambda=\{\lambda_{ii}\}$. Диагональные элементы $\Lambda$ — собственные значения матрицы $A$, столбцы — приближенные собственные вектора.

По заданной матрице $A=A_0$ строится последовательность ортогонально подобных матриц $A_1, A_2,\ldots, A_m$, сходящихся к $\Lambda$.

$A_{i+1}={J_i}^TA_iJ_i$, где $J_i$ — ортогональная матрица, называемая вращением Якоби.

Матрица $J_i$ выбирается так, чтобы обнулить элементы $(j,k)$ и $(k,j)$ матрицы $A_{i+1}$:

$\begin{matrix}j & & & & & & & & k \end{matrix}$

$\begin{align} J_i = \begin{matrix} \\ \\ j \\ \\ \\ \\ \\k \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} & 1 & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & \\ & & & \ddots & & & & & & \\ & & & & \cos(\theta) & & -\sin(\theta) & & & \\ & & & & & \ddots & & & & \\ & & & & \sin(\theta) & & \cos(\theta) & & & \\ & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & & & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align}$

Для угла вращения $\theta$:

$\begin{bmatrix}a^{(i+1)}_{jj} & a^{(i+1)}_{jk} \\ a^{(i+1)}_{kj} & a^{(i+1)}_{kk}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta\end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix}a^{(i)}_{jj} & a^{(i)}_{jk} \\ a^{(i)}_{kj} & a^{(i)}_{kk}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix},$ где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ — собственные значения подматрицы

$$\begin{bmatrix}a^{(i)}_{jj} & a^{(i)}_{jk} \\ a^{(i)}_{kj} & a^{(i)}_{kk}\end{bmatrix}$$ .

Обозначим $s = \sin \theta$ и $c = \cos \theta$.

$\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{jj}c^2+a_{kk}s^2+2sca_{jk} & sc(a_{kk} - a_{jj}) + a_{jk}(c^2-s^2) \\ sc(a_{kk} - a_{jj}) + a_{jk}(c^2-s^2) & a_{jj}s^2+a_{kk}c^2 - 2sca_{jk} \end{bmatrix}$.

Приравняем внедиагональный элемент нулю: $\dfrac{a_{jj}-a_{kk}}{2a_{jk}}=\dfrac{c^2-s^2}{2sc}=\dfrac{\cos2\theta}{\sin2\theta}=\operatorname{ctg}2\theta\equiv\tau$

Положим $tg\theta=t=\dfrac{s}{c}$. Тогда $t^2+2t\tau-1=0$.

Решая квадратное уравнение, получим: $t=\dfrac{\operatorname{sign}\tau}{\left|\tau\right|+\sqrt{1+\tau^2}}, c=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}, s=t\cdot c.$

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: плотная матрица $A=\{a_{ij}\}, A\in\R^{n\times n}$. Дополнительные ограничения: $A$ — симметрическая матрица, т. е. $a_{ij}= a_{ji}, i, j = 1, \ldots, n$.

Объём входных данных:$\frac{n (n + 1)}{2}$ (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над- или поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом.

Выходные данные: диагональная матрица $\Lambda=\{\lambda_{ii}\}$, где $\lambda_{ii}$ — собственные значения матрицы $A$.

Объём выходных данных: $n$ (достаточно хранить только диагональные элементы).