Участник:IanaV/Алгоритм k means

Авторы страницы: Валуйская Я.А. и Глотов Е.С.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм k-means (k средних) - один из наиболее популярных алгоритмов кластеризации. Алгоритм был изобретён в 1950-х годах математиком Гуго Штейнгаузом, и почти одновременно его изобрел Стюарт Ллойд. Особую популярность алгоритм снискал после работы Маккуина.

Алгоритм кластеризации k-means решает задачу распределения N наблюдений по K кластерам так, чтобы наблюдение принадлежало одному кластеру, который имеет наименьшее удаление от наблюдения.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• множество наблюдений $X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$, где каждое наблюдение $x_i \in R^d, i = 1, ..., n$;
• количество кластеров $k \in N, k \leq n$

Обозначения:

• $S = \{S_1, S_2, ..., S_k \}$ - множество кластеров, которые удовлетворяют следующим условиям:
  • $S_i \bigcap S_j = \emptyset, i \neq j$;
  • $X = {\bigcup \limits _{i = 1}^k S_i}$.

• $\mu_i, i = 1, ..., k$ - центр масс кластера $S_i$

Выходные данные:

• $l = (l_1, l_2, ..., l_n)$, где $l_i \in [1, k]$ - является порядковым номером кластера, к которому принадлежит вектор $x_i$: $x_i \in S_{l_i}$

Цель алгоритма k-means - распределить наблюдения из входного множества $X$ по $k$ кластерам $S = \{S_1, S_2, ..., S_k \}$ таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра по всем кластерам была минимальной:

$\arg\min_{S} \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in S_i} \left\| \mathbf x - \mu_i \right\|^2$,

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Инициализация центров масс
   На данном шаге задаются начальные значения центров масс $\mu_1^1, ..., \mu_k^1$. Существует несколько способов их выбора. Они будут рассмотрены ниже.
2. t-ый шаг итерации:
   • Распределение векторов по кластерам
     На данном шаге каждый вектор $x \in X$ распределяется в свой кластер $S_i^t$ так, что:
     $l_i^t = \arg \min_{j} \left\| \mathbf x - \mu_j^t \right\|^2 , j = 1, ..., k$
   • Пересчет центров масс кластеров
     На данном шаге происходит пересчет центров масс кластеров, полученных на предыдущем этапе:
     $\mu_i^{t+1} = \frac{1}{|S_i^t|} \sum_{x \in S_i^t} x$
3. Критерий останова
   $\mu_i^t = \mu_i^{t+1},$ для всех $i = 1, ..., k$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительном ядром алгоритма является шаг 2, состоящий из следующих этапов:

1. распределение векторов по кластерам;
2. пересчет центров масс кластеров.

Распределение векторов по кластерам заключается в следующем: для каждого вектора $x_i \in X, i = 1, ..., n$ необходимо посчитать расстояние между этим вектором и центром масс кластера $\mu_j^t, j = 1, ..., k$. Следовательно, необходимо выполнить $n * k$ операций вычисления расстояния между векторами. В качестве расстояния между векторами $v \in R^m$ и $u \in R^m$ используется Евклидова метрика $d(v, u) = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (v_j - u_j)^2}$.

Пересчет центров масс кластеров заключается в следующем: для каждого кластера $S_i^t \in S, i = 1, ..., k$ необходимо пересчитать кластер по формуле, приведенной в пункте выше.

2 Программная реализация алгоритма

2.2 Существующие реализации алгоритма

Существуют следующие Open Source реализации алгоритма:

• ELKI - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Java (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
• Weka - содержит реализацию k-means на языке Java
• Apache Mahout - содержит реализацию k-means в парадигме MapReduce
• Spark Mllib - содержит распределенную реализацию k-means
• Accord.NET - содержит реализацию k-means на C# (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
• MLPACK - содержит реализацию k-means на языке C++
• OpenCV - содержит реализацию k-means на C++. А также есть обертки для языков Python и Java
• SciPy - содержит реализацию k-means на языке Python
• Scikit-learn - содержит реализацию k-means на языке Python
• Julia - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Julia
• Octave - содержит реализацию k-means на языке Octave
• R - содержит реализацию k-means на языке R
• Torch - содержит реализацию k-means на языке Lua