Сингулярное разложение (нахождение сингулярных значений и векторов)
Содержание
1 Общая постановка задачи
Дана произвольная матрица [math]A[/math] размера [math]m \times n[/math], необходимо построить её разложение в виде [math]A=U\cdot S \cdot V^*,[/math] где [math]U[/math] и [math]V[/math] — унитарные матрицы размера [math]m \times m[/math] и [math]n \times n[/math] соответственно, [math]S[/math] — диагональная матрица с вещественными положительными числами на диагонали. Диагональные элементы матрицы [math]S[/math] называются сингулярными числами матрицы [math]A[/math], а столбцы матриц [math]U[/math] и [math]V[/math] левыми и правыми сингулярными векторами соотвтественно.
1.1 Возможные вариации постановки задачи
- Поиск всех сингулярных чисел матрицы без поиска сингулярных векторов.
- Поиск сингулярных чисел матрицы из интервала [math](a,b)[/math].
- Поиск сингулярных чисел матрицы из интервала [math](a,b)[/math] и соответствующих сингулярных векторов.
2 Методы решения
2.1 Общий метод сведения к спектральному разложению
2.2 Метод сведения к двухдиагональной матрице
Наиболее популярным методом вычисления сингулярных чисел и сингулярного разложения матрицы общего вида является приведение матрицы к двухдиагональному виду с дальнейшим примененеим хорошо разработанных методов вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц.
2.3 Методы вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц
2.3.1 QR-итерация и её варианты
2.3.1.1 Особенности
- Быстрый метод для матриц порядка примерно 25 и меньше
- Высокая точность вычисления сингулярных чисел
