Участник:Pandvik/Ортогонализация Грама - Шмидта

Авторы описания алгоритма: Павлов Андрей, Филимонов Владимир.

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

В конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Для доказательства этого факта требуется находить и строить такие базисы. Построить ортонормированный базис можно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта используется для квадратных матриц, которые преобразуются, либо уже преобразованы, к верхнему(нижнему) треугольному виду.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта нашёл применение в оптимизации оценивания параметров моделей управления объектом, в протоколах безопасности, в обработке сигналов, в вычислении локальных минимумов целочисленных решёток и многом другом.

Обычно, процесс ортогонализации используется как промежуточный шаг в других алгоритмах для уменьшения количества вычислений.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: квадратная матрица A с линейно независимыми векторами [math]\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_N[/math].

Определяется оператор проекции [math]\mathbf{proj}_b a = \frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle }b[/math], где [math]\left \langle a,b \right \rangle[/math] - скалярное произведение векторов a и b. Данный оператор используется для проецирования вектора a коллинеарно вектору b.

[math]\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1[/math]

[math]\mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_2 [/math]

[math]\mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_3 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2} \mathbf{a}_3 [/math]

[math]\mathbf{b}_4 = \mathbf{a}_4 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_1} \mathbf{a}_4 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_2} \mathbf{a}_4 - \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_3} \mathbf{a}_4[/math]

[math]\vdots[/math]

[math]\mathbf{b}_N = \mathbf{a}_N - \sum_{j=1}^{N-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j} \mathbf{a}_N[/math]

На основе каждого вектора [math]\mathbf{b}_j (j = 1 \cdots N)[/math] может быть получен нормированный вектор [math]\mathbf{e}_j = \frac{\mathbf{b}_j}{||\mathbf{b}_j||}[/math].

Результаты процесса ортогонализации Грама-Шмидта: [math]\mathbf{b}_1\cdots\mathbf{b}_N[/math] - система ортогональных векторов либо система ортонормированных векторов [math]\mathbf{e}_1\cdots\mathbf{e}_N[/math].

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1. [math]\mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1[/math]

2. [math]\mathbf{b}_i = \mathbf{a}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \mathbf{proj}_{\mathbf{b}_{i-1}} \mathbf{a}_i[/math] [math](i = 2 \cdots N)[/math], для каждого [math]\mathbf{proj}_b a[/math] выполняется [math]\frac{\left \langle a,b \right \rangle}{\left \langle b,b \right \rangle}b[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательный алгоритм требует:

[math]\bullet \qquad \frac{n(n-1)}{2}n[/math] - вычитаний;

[math]\bullet \qquad \frac{n(n-1)}{2}n[/math] - делений;

[math]\bullet \qquad n \cdot 2 \cdot (n-1)(n-2)[/math] - умножений.

1.7 Информационный граф

Опишем информационный граф алгоритма.

Для вычисления [math]b_i[/math] требуется найти [math]proj_{b_{j}}a_{i}[/math] для всех [math]j \in [1, i][/math]. Следовательно для полного вычисления вектора [math]b_{i}[/math] требуется знать все [math]b_{j}[/math] с меньшим индексом. Такая зависимость по данным очень не удачна для параллелизма. Однако, если разбить процесс вычисления [math]b_{i}[/math] на несколько этапов, соответствующих функциям проекции ([math]proj_{b_{j}}a_{i}[/math]), то это позволит производить некоторые предварительные вычисления для [math]b_{j}[/math] до момента, когда станут известны все предшествующие ей [math]b_{i}[/math].

На Рис. 1 изображена зависимость каждого из этапов от предыдущих вычислений. Первая строка овалов содержит все проекции, зависящие от [math]b_{1}[/math], вторая строка - все проекции, зависящие от [math]b_{2}[/math], [math]\;\cdots\;[/math] самая верхняя строка содержит проекцию, которая зависит от [math]b_{N-1}[/math].

Рис. 2 показывает зависимость по данным немного в другом формате. Каждая строка представляет собой набор данных, которые требуются для вычисления [math]b_{i}[/math] из первого столбца. Второй и последующие столбцы группируют проекции, зависящие от одной из [math]b_{i}[/math] и, с помощью стрелки, показывают эту зависимость.

Рис. 1. Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта

Рис. 2. Информационный граф алгоритма Грама-Шмидта

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Существует реализация процесса отртогонализации Грама-Шмидта, которая является вычислительно более устойчивой, такая реализации имеет название Модифицированный процесс Грама-Шмидта.