Участник:Алексей Будюк/Метод Якоби вычисления собственных значений симметричной матрицы

Основные авторы описания: А.М. Будюк, В.А. Сальников

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные вектора характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
Таким образом, задача нахождения собственных значений и собственных векторов матриц(СЗВМ) является одной из основных задач для многих разделов физики. Одним из методов решения является метод Якоби. Этот метод позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне главной диагонали. В итоге, накопление в процессе преобразований произведения трансформационных матриц дает матрицу собственных векторов, в то время как диагональные элементы являются собственными значениями. К сожалению, приведение к строго диагональному виду, в общем случае, требует бесконечно большого числа шагов, так как образование нового нулевого элемента на месте одного из элементов матрицы часто ведет к появлению ненулевого элемента там, где ранее был нуль, так как при преобразовании затрагиваются и другие элементы матрицы. На практике метод Якоби рассматривают, как итерационную процедуру, которая в принципе позволяет с заданной точностью подойти к диагональной форме.
В случае симметричной матрицы [math]A[/math] действительных чисел преобразование выполняется с помощью ортогональных матриц [math]P[/math], полученных в результате вращении в действительной плоскости. Вычисления осуществляются следующим образом. Из исходной матрицы [math]A[/math] образуют матрицу [math]A_1[/math], при этом ортогональная матрица плоского вращения [math]P_1[/math] выбирается так, чтобы в матрице [math]A_1[/math] появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали (обычно выбирается наибольший по модулю элемент). Затем из [math]A_1[/math] с помощью второй преобразующей матрицы [math]P_2,[/math] образуют новую матрицу [math]A_2[/math]. При этом [math]P_2[/math], выбирают так, чтобы в [math]A_2[/math] появился еще один нулевой внедиагональный элемент. Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. В итоге получаем некоторый бесконечный итерационный процесс, на каждом шаге которого преобразующаяся матрица становится всё более и более близкой к диагональной форме (в смысле уменьшения суммы квадратов всех своих недиагональных элементов). На практике, при решении задач, выбирается некоторая величина [math]\epsilon[/math], и итерационный процесс останавливается, когда наибольший по модулю внедиагональный элемент становится меньше [math]\epsilon[/math].