Участник:Obirvalger/Метод рекурсивной координатной бисекции

Авторы: Гордеев Михаил, Колмаков Евгений.

1 Свойства и структура алгоритмов

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего [math]k-1[/math]) сортировки(функция sort).

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Обозначим через [math]D_k(n)[/math] сложность алгоритма рекурсивной координатной бисекции для графа с [math]n[/math] вершинами на [math]k[/math] частей.

Введем [math]D(n) = D_k(n)[/math] при [math]k = n[/math]. Для [math]D(n)[/math] верно следующее рекуррентное равенство:

[math] \begin{array}{l} D(n) = S(n) + 2D(\frac{n}{2}) \\ D(1) = S(1) = 0 \\ \end{array} [/math], где [math]S(n)[/math] это сложность алгоритма сортировки массива из [math]n[/math] элементов.

Пусть [math]S(n) = O(n\log{n})[/math], например для сортировки слиянием, тогда по теореме о рекуррентном неравенстве [math]D(n) \lesssim n^{1+\varepsilon}[/math].

Для [math]D(n)[/math] есть точное значение: [math]\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})[/math].

[math]D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})[/math]. Если использовать сортировку со сложностью [math]S(n) = O(n\log{n})[/math], то [math]D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log{k}log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}\frac{n}{2^i})) = O(\log{k}\cdot n\log{n})[/math].