Участник:Артем Таран/Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON
Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON | |
Последовательный алгоритм | |
Последовательная сложность | [math]O(n^2+nm+m^2log(m))[/math] |
Объём входных данных | [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math] |
Объём выходных данных | [math]n[/math] |
Параллельный алгоритм | |
Высота ярусно-параллельной формы | [math]O(n + log(n) + m^2log(m))[/math] |
Ширина ярусно-параллельной формы | [math]O(n)[/math] |
Статью подготовили: Артём Таран Иванович (разделы 1.1 - 1.10), Шимчик Никита Владимирович (разделы 1.1 - 1.10).
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Кластеризация — многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы (кластеры) с минимизацией межкластерного сходства и максимизацией внутрикластерного сходства.
Графо-ориентированный алгоритм кластеризации CHAMELEON - относительно новый алгоритм, который измеряет сходство двух кластеров на основе динамической модели. В процессе кластеризации два кластера объединяются, только если показатели взаимосвязанности и близости между двумя кластерами являются высокими по отношению к показателям внутренней взаимосвязанности кластеров и близости элементов внутри этих кластеров. Процесс слияния с использованием динамической модели, использующийся в данном алгоритме облегчает открытие природных и однородных кластеров. Методология динамического моделирования кластеров, использующаяся в CHAMELEON, применима ко всем типам данных, для которых может быть построена матрица подобия.
Алгоритм кластеризации CHAMELEON включает в себя три этапа:
1) Построение графа, путём добавления рёбер по принципу k ближайших соседей.
2) Выделение множества сравнительно малых связных подграфов.
3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе.
1.2 Математическое описание алгоритма
1.2.1 Данные
- Исходные данные: множество из [math]n[/math] точек [math]V = \{v_{i}\}[/math] в метрическом пространстве, которое может быть задано в виде треугольной матрицы расстояний [math]A[/math] размера [math]n\times n[/math].
- Промежуточный результат после первого этапа: граф [math]G = (V, E)[/math], полученный путём соединения каждой точки с её [math]k[/math] ближайшими соседями.
- Промежуточный результат после второго этапа: разбиение множества [math]V[/math] на набор [math]K = \{K_{i}\}[/math] попарно непересекающихся связных подмножеств, из которого образуется взвешенный граф [math]G_{2} = (K, E_{2})[/math].
- Промежуточный результат после третьего этапа: итоговое разбиение множества вершин графа [math]G_{2}[/math] на набор кластеров [math]C = \{C_{i}\}[/math].
- Вычисляемые данные: n-мерный вектор [math]v[/math] (элементы [math]v_{i}[/math]), показывающий отображение исходного множества точек на набор кластеров [math]C[/math].
1.2.2 Определения
- Абсолютная взаимная связность между парой кластеров [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math] определяется как сумма весов ребер, соединяющих вершины, принадлежащие [math]C_{i}[/math] с вершинами из [math]C_{j}[/math]. Эти ребра, фактически, входят в разделитель ребер графа, состоящего из кластеров [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math], и разбивающим его на подграфы [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math]. Обозначается эта величина как
[math]EC_{(C_{i},C_{j})}[/math]. Внутреннюю связность [math]EC_{C_{i}}[/math] кластера [math]C_{i}[/math] можно вычислить как сумму ребер, входящих в разделитель ребер, разбивающий [math]C_{i}[/math] на два совершенно равных подграфа.
- Относительная взаимная [math]RI_{(C_{i},C_{j})}[/math] связность пары кластеров [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math] определяется формулой:
[math]RI_{(C_{i},C_{j})} = \frac{2*|EC_{(C_{i},C_{j})}|}{|EC_{C_{i}}|+|EC_{C_{j}}|}[/math]
Учитывая значения относительной взаимной связности, можно добиться получения кластеров разного размера, формы и плотности, то есть общего внутреннего сходства.
- Абсолютное взаимное сходство между парой кластеров [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math] подсчитывается как среднее сходство между соединенными вершинами, принадлежащими [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math] соответственно. Эти соединения обусловлены предыдущим разбиением общего графа, полученного на матрице сходства.
- Относительное взаимное сходство [math]RC_{(C_{i},C_{j})}[/math] между парой кластеров [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math] определяется как абсолютное сходство между этой парой кластеров, нормализованное с учетом их внутреннего сходства и вычисляется по формуле:
[math] RC_{(C_{i},C_{j})}= \frac{S_{EC_{(C_{i},C_{j})}}}{\frac{|C_{i}|}{|C_{i}+C_{j}|}*S_{EC_{(C_{i})}}+\frac{|C_{i}|}{|C_{i}+C_{j}|}*S_{EC_{(C_{j})}}}[/math],
где [math]S_{EC_{(C_{i})}}[/math] и [math]S_{EC_{(C_{i})}}[/math] - средние веса ребер (значения сходства), принадлежащих разделителю ребер кластеров [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math] соответственно, и [math]S_{EC_{(C_{i},C_{j})}}[/math] - средний вес ребер, соединяющих вершины [math]C_{i}[/math] с вершинами [math]C_{j}[/math], причем ребра принадлежат разделителю ребер [math]EC_{(C_{i})}[/math], определенному ранее.
Далее, алгоритм применяет агломеративную иерархическую кластеризацию с использованием вышеозначенных показателей. Причем существует две стратегии их учета. Первая подразумевает наличие некоторых пороговых значений [math]T_{RI}[/math] и [math]T_{RC}[/math]. В соответствии с этой стратегией, алгоритм для каждого кластера [math]C_{i}[/math] проверяет, отвечают ли смежные (наиболее близкие) ему кластеры условиям:
- [math]RI_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RI}[/math]
- [math]RC_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RC}[/math]
Если более одного смежного кластера отвечает этим условиям, то алгоритм выбирает для объединения наиболее связный кластер (граф), то есть такой кластер [math]C_{j}[/math], с которым у кластера [math]C_{i}[/math] получается наибольшая абсолютная взаимная связность. По завершению прохода по всем кластерам, созданные таким образом пары объединяются. Параметры [math]T_{RI}[/math] и [math]T_{RC}[/math] могут использоваться для изменения характеристик получаемых кластеров.
Вторая стратегия заключается в использовании специальной функции, объединяющей понятия относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. На каждом шаге выбираются те кластеры для объединения, которые максимизируют эту функцию:
[math]RI_{(C_{i},C_{j})}*RC_{(C_{i},C_{j})}^\alpha[/math],
где [math]\alpha[/math] выбирается пользователем. Если [math]\alpha \gt 1 [/math], то алгоритм придает большее значение относительному взаимному сходству, а если [math]\alpha \lt 1 [/math], то большее значение имеет относительная взаимная связность. Разумеется, данный подход позволяет получить полную дендрограмму кластерного анализа.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
На первом этапе работы алгоритма вычислительным ядром можно считать процесс нахождения k ближайших соседей для каждой отдельной вершины.
На втором этапе работы алгоритма вычислительным ядром является поиск разбиения графа на два подграфа с минимизацией разделителя рёбер графа.
На третьем этапе работы алгоритма вычислительным ядром является расчёт [math]EC_{(C_{i},C_{j})}[/math], [math]RC_{(C_{i},C_{j})}[/math] и [math]RI_{(C_{i},C_{j})}[/math] для пары смежных кластеров, а также их слияние.
1.4 Макроструктура алгоритма
Алгоритм CHAMELEON выполняется в 3 этапа, последовательных относительно друг друга. Каждый этап соответствует отдельному алгоритму.
- Макрооперацией на первом этапе является процедура выделения k ближайших соседей.
- Макрооперацией на втором этапе является процедура разбиения наибольшего подграфа на каждой итерации.
- Макрооперациями на третьем этапе являются процедуры вычисления метрики для принятия решения об объединении кластеров и объединение кластеров на каждой итерации.
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- Первый этап (псевдокод):
integer n; // Количество точек. integer k; // Параметр k integer A[n][n]; // Верхняя треугольная матрица расстояний между точками. integer E[n][n]; // Верхняя треугольная матрица рёбер графа G - изначально инициализирована нулями. foreach (integer i in (1,n-1) ) { integer Neighbors[k]; // матрица, используемая хранения ближайших соседей integer countN = 0; foreach (integer j in (i+1, n) ) { // Заполняем матрицу Neighbors, добавляя новые элементы и увеличивая счётчик countN. // Когда countN станет равен k, новые элементы будут вставляться на место старых, либо отбрасываться. } foreach (integer j in (0, countN) ) { E[min(i,j), max(i,j)] = 1; } } return E;
- Второй этап:
- Третий этап:
1.6 Последовательная сложность алгоритма
1) Построение графа на основе метода k ближайших соседей в худшем случае требует [math]O(n^2)[/math] операций;
2) Для выделения множества сравнительно малых связных подграфов требуется [math]nm[/math] операций;
3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе, требует [math]m^2log(m)[/math] операций.
Итого, получаем последовательную сложность [math]O(n^2+nm+m^2log(m))[/math].
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
Первый этап работы алгоритма можно распределить между [math]n[/math] процессами: в этом случае каждому процессу назначается своя точка и происходит поиск [math]k[/math] ближайших соседей. Таким образом, его параллельная сложность составляет O(n).
На втором этапе количество задействованных процессов может варьироваться в зависимости от входных данных. В худшем случае число итераций можно оценить как [math]O(log(n))[/math].
Третий этап распараллелить не представляется возможным, поскольку выбор очередной пары кластеров для сравнения зависит от результата выполнения предыдущей итерации, поэтому сложность оставляется равной [math]m^2log(m)[/math].
Таким образом, суммарная параллельная сложность оказывается равна [math]O(n + log(n) + m^2log(m))[/math]
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- Входные данные:
1) Треугольная матрица [math]A[/math] размера [math]n\times n[/math] (где n — количество объектов), в которой элементу [math]a_{ij}[/math] соответствует расстояние между i-м и j-м объектами.
2) Количество ближайших соседей [math]k[/math] для вершин (рекомендуемое значение [math]k[/math] от 5 до 20 в зависимости от количества анализируемых объектов).
3) Наименьшее число вершин, которое может содержать наибольший подграф на 2-м этапе [math]l[/math]. Величина этого параметра варьируется от 1 до 5 % от общего числа объектов.
- Объём входных данных: [math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]
- Выходные данные: n-мерный вектор [math]v[/math], в котором элементу [math]v_{i}[/math] соответствует номер кластера, присвоенный i-му объекту
- Объём выходных данных: [math]n[/math]
1.10 Свойства алгоритма
Первый этап алгоритма обладает хорошим ресурсом параллелизма: параллельная сложность его выполнения составляет [math]O(n)[/math], что намного лучше последовательной оценки [math]O(n^2)[/math]. У второго и третьего этапов алгоритма сложно полностью оценить ресурсы параллелизма. Второй этап возможно частично распараллеллить, в том время третий этап в основном является последовательным.
Детерминированность: Важной особенностью данного алгоритма является его недетерминированность. Несмотря на то, что 1-й этап детерминирован, алгоритм в целом является недетерминирован, так как на 2-ом этапе невозможно предсказать разбиение исходного графа на подграфы.
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
2.2 Локальность данных и вычислений
2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
2.6 Выводы для классов архитектур
2.7 Существующие реализации алгоритма
Существует несколько последовательных реализаций алгоритма. С одной из них можно ознакомиться по ссылке [1].
Возможна реализация алгоритма CHAMELEON с использованием графовых библиотек, как, например METIS [2] , hMETIS [3] и RANN [4].
Параллельных реализаций алгоритма CHAMELEON найдено не было. Однако существует исследование, связанное с реализацией CHAMELEON посредством технологии OpenMP, с которым можно ознакомиться здесь [5].
3 Литература
<references \>