Участник:Kst179/Metropolis light transport

Metropolis light transport — это алгоритм, применяющий один из вариантов метода Монте Карло — метод Метрополиса-Гастинга, Монте Карло на Марковских цепях (Metropolis-Hastings, Markov chain Monte Carlo, MCMC), для генерации изображений при помощи физического описания трехмерных сцен. Алгоритм используется в компьютерной графике, решает задачу глобального освещения (точное моделирование световых эффектов). Отличается от классических методов, таких как Bidirectional path tracing скоростью работы и точностью моделирования (возвращает несмещенное значение).

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Основной объект с которыми работает трассировщик лучей это пути от источников света до камеры. Путь это ломанная, каждое звено которой имитирует направление движения фотона, ломанная начинается в источнике света, изменяет направление при попадании на какую либо поверхность, а последнее звено должно заканчиваться в камере. Обозначим путь как [math]\overline{x} = x_1, x_2, \dots, x_k[/math], где [math]k\gt 1, x_i[/math] — координата на поверхности некоторого объекта от которого отражается луч). Для каждого пути введем некоторую функцию [math]f(\overline{x})[/math], обозначающую яркость, с которой этот луч освещает пиксель матрицы камеры.

Обычные методы трассировки лучей генерируют очень много путей и потом аггрегируют значение яркости по каждому пикселю. Это может быть очень долго, из за того что много компьютерного времени уходит на генерацию лучей с малой яркостью последующий вклад которых в результатирующее изображение мал (пример — две комнаты, разделенные слегка приоткрытой дверью в одной находится источник света, в другой — камера, тогда большинство независимо сгенерированных путей будет проходить сквозь стену, а значит иметь нулевую яркость).

В MLT путь считается случайной величиной, с плотностью вероятности [math]p(\overline{x}) = \frac{1}{b}f(\overline{x}), b=const[/math], а генерация путей происходит согласно этому распределению. Тогда получается что более весомых путей мы генерируем больше, а пути проходящие через стены или на которых теряется слишком много яркости мы практически не рассматриваем. Также если генерировать пути согласно вышеописанному распределению то выражение для подсчета окончательного изображения [math]m_j = \int _{\Omega} w_j(\overline{x})f(\overline{x})d\overline{x}[/math], (где [math]m_j[/math] — значение [math]j[/math]-го пикселя, [math]\Omega[/math] — пространство всевозможных путей, [math]w_j(\overline{x})[/math] — индикатор того, что [math]\overline{x}[/math] попадает в [math]j[/math]-й пиксель) можно заменить на следующую несмещенную оценку:

[math]m_j = \int _{\Omega} w_j(\overline{x})f(\overline{x})d\overline{x} = \int _{\Omega} w_j(\overline{x})\frac{f(\overline{x})}{p(\overline{x})} p(\overline{x})d\overline{x} = \mathbb{E} w_j(\overline{x})\frac{f(\overline{x})}{p(\overline{x})} \approx \frac{1}{N} \sum _{i=0} ^{N} w_j(\overline{x_i})\frac{f(\overline{x_i})}{p(\overline{x_i})} = \frac{b}{N} \sum _{i=0} ^{N} w_j(\overline{x_i})[/math].

То есть после семплирования путей [math]\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_N}[/math] получаем что яркость j-го пикселя пропорциональна количеству приходящих в этот пиксель лучей а от их вида никак не зависит (но для этого необходимо чтобы пути строго соответствовали своему распределению).

1.2 Математическое описание алгоритма

Для семплирования путей из, вообще говоря, неизвестного нам распределения [math]p(\overline{x})[/math] используется метод MCMC. Построим следующую марковскую цепь: введем некоторую вероятность [math]K(\overline{y}|\overline{x})[/math] перехода [math]\overline{x} \rightarrow \overline{y}[/math]. Выберем произвольный путь [math]\overline{x_0}[/math] и случайным блужданием будем переходить от [math]\overline{x_{i-1}}[/math] к [math]\overline{x_i}[/math]. Пусть [math]\overline{x_0}[/math] распределено с некоторой плотностью вероятности [math]p_0(\overline{x})[/math], тогда [math]x_i[/math] будет распределено как [math]p_i(\overline{x}) = \int_{\Omega} K(\overline{x}|\overline{y})p_{i-1}(\overline{y})d\overline{y}[/math]. При некоторых условиях на [math]K(\overline{x}|\overline{y}), ~\underset{i\rightarrow\infty}{lim}p_i(\overline{x}) = p(\overline{x})[/math], откуда следует что при правильном выборе [math]K(\overline{x}|\overline{y})[/math], и большом количестве переходов, независимо от выбора [math]\overline{x_0}[/math], все [math]\overline{x_i}[/math] будут распределены согласно вероятности [math]p(\overline{x})[/math].

Пусть мы находимся в состоянии (пути) [math]\overline{x}[/math], сделаем над путем некоторую мутацию (небольшое изменение) и получим некоторый другой путь [math]\overline{y}[/math]. На пространстве всевозможных мутаций над [math]\overline{x}[/math] введем вероятность [math]T(\overline{y}| \overline{x})[/math] того что при мутации [math]\overline{x}[/math] получится [math]\overline{y}[/math]. Далее мы можем принять эту мутацию или отклонить с некоторой вероятностью [math]a(\overline{y}|\overline{x})[/math]. Если мутация принимается, то совершается переход по марковской цепи [math]\overline{x} \rightarrow \overline{y}[/math], иначе [math]\overline{x}\rightarrow\overline{x}[/math], т.е. мы остаемся в том же состоянии. Таким образом мы сконструировали [math]K(\overline{y}|\overline{x}) = a(\overline{y}|\overline{x})T(\overline{y}|\overline{x})[/math], при [math]\overline{x} \neq \overline{y}, K(\overline{x}|\overline{x}) = \int_{\Omega}(1-a(\overline{y}|\overline{x}))T(\overline{y}|\overline{x})d\overline{y}[/math], где [math]T(\overline{y}|\overline{x})[/math] определяется тем, как именно мы производим мутации над путями, будет обсуждено чуть позже, а [math]a(\overline{y}|\overline{x})[/math] выбирается таким, чтобы цепь сходилась к стационарному состоянию, и скорость сходимости была как можно выше. Согласно принципу детального равновесия Марковская цепь сходится к стационарному распределению [math]p(\overline{x})[/math] при [math]p(\overline{x})K(\overline{y}|\overline{x}) = p(\overline{y})K(\overline{x}|\overline{y})[/math], или, что тоже самое: [math]\frac{1}{b}f(\overline{x})a(\overline{y}|\overline{x})T(\overline{y}|\overline{x}) = \frac{1}{b}f(\overline{y})a(\overline{y}|\overline{x})T(\overline{x}|\overline{y})[/math].

Откуда получаем [math]\frac{a(\overline{y}|\overline{x})}{a(\overline{x}|\overline{y})} = \frac{f(\overline{y})T(\overline{x}|\overline{y})}{f(\overline{x})T(\overline{y}|\overline{x})}[/math]. Так как скорость сходимости необходима как можно большая, то выберем [math] a(\overline{y}|\overline{x})[/math] и [math] a(\overline{x}|\overline{y})[/math] максимально возможным: [math]a(\overline{y}|\overline{x}) = min\left\{ 1, \frac{f(\overline{y})T(\overline{x}|\overline{y})}{f(\overline{x})T(\overline{y}|\overline{x})} \right\} [/math].

Теперь определим функцию [math]f(\overline{x})[/math]. Функция [math]f(\overline{x})[/math] складывается из нескольких промежуточных значений, каждое из которых отображает какая часть освещенности падает при прохождении звена пути/отражения луча от поверхности. Рассмотрим одно звено пути [math]x' \rightarrow x''[/math]. Пусть x' находится на поверхности объекта излучающего свет. Тогда определим [math]L_e(x'\rightarrow x'')[/math] как освещенность точки [math]x''[/math] при излучении света из точки [math]x'[/math]. Для точечного источника [math]L_e(x'\rightarrow x'') = \frac{I}{||x' - x''||^2}[/math], где I — интенсивность источника, для излучающей поверхности с нормалью [math]\overline{n}[/math] в точке [math]x'[/math], [math]L_e(x' \rightarrow x'') = I\frac{|\lt \overline{n}, x''-x'\gt |}{||x'-x''||^3}[/math] и т.д. для каждого типа источника функция будет разной.