Адаптивное интегрирование: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
(Новая страница: «== Свойства и структура алгоритма == === Общее описание алгоритма === '''Адаптивное интегрир…»)
 
(Полностью удалено содержимое страницы)
 
(не показано 14 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Свойства и структура алгоритма ==
 
  
=== Общее описание алгоритма ===
 
 
'''Адаптивное интегрирование''' используется в качестве быстрого варианта вычисления интеграла функции, используя адаптивное изменение плотности сетки интегрирования. В тех местах где функция гладкая, сетка будет более разреженная, и наоборот в тех местах, где функция не гладкая, сетка будет сгущаться для получения необходимой точности.
 
 
=== Математическое описание алгоритма ===
 
 
Формулы метода:
 
 
# Производится подсчет интеграла функции квадратурной [https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Симпсона формулой Симпсона] с числом узловых точек равным 4 и 8 на отрезке [a, b].
 
# Считается разность посчитанных значений
 
## Если разность посчитанных интегралов меньше либо равна желаемой точности интегрирования ε заканчиваем процедуру.
 
## Если разность больше, то происходит разбиение отрезка на два [a, (a + b) / 2] и [(a + b) / 2, b] и для каждого отрезка повторяется процедура 1, затем возвращается сумма полученных значений.
 
 
Из описания видно, что алгоритм имеет рекурсивную природу.
 
 
=== Макростуктура алгоритма ===
 
 
Как уже записано в описании алгоритма, основную часть метода составляют рекурсивные вызовы интегралов отрезков меньшей длинны.
 
 
=== Входные данные ===
 
 
* Функция.
 
* Отрезок вида [a, b].
 
* Желаемая точность интегрирования ε.
 
 
=== Выходные данные ===
 
 
* Интеграл функции на отрезке [a, b] с точностью ε.
 
 
== Программная реализация алгоритма ==
 
 
=== Реализации на одном процессоре ===
 
 
Простейшую рекурсивную реализацию данного алгоритма , которая не использует ресурсы параллелизма можно посмотреть [https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/src/method/sequential/SequentialMethod.cpp здесь].
 
<br>
 
Реализация с помощью библиотеки [https://www.threadingbuildingblocks.org Intel TBB] для более эффективного использования многоядерных процессоров можно посмотреть [https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/src/method/tbb/TBBMethod.cpp здесь].
 
 
=== Параллельная реализации ===
 
 
==== Реализация с помощью MPI для межпроцессорного взаимодействия и [https://www.threadingbuildingblocks.org Intel TBB]  для внутрипроцессорного взаимодействия ====
 
 
[https://github.com/bvdmitri/aintegrate/blob/master/src/method/mpi_tbb/MPI_TBBMethod.cpp Исходный код]
 
 
В данной реализации отрезок [a, b] делится на число доступных процессоров, каждый отрезок считается на своем процессоре, рекурсия заменяется на [https://www.threadingbuildingblocks.org/tutorial-intel-tbb-task-based-programming систему] задач библиотеки Intel MPI для более эффективного использования многоядерных процессоров.
 
 
==== Реализация только с помощью MPI ====
 
 
[https://github.com/bvdmitri/aintegrate/tree/master/src/method/mpi_farm Исходный код]
 
 
В данной реализации рекурсия заменяется на систему задач, каждая задача представляет собой подсчет интеграла на отрезке, в случае если необходимая точность не достигнута (см. Математическое описание алгоритма), создаются две новые задачи с меньшими отрезками и распределяются между другими процессорами. Данная реализация в теории решает проблему неравномерности гладких и не гладких участков функции, в случае когда большая часть участков гладкая и лишь небольшой участок функции сильно осциллирует.
 

Текущая версия на 00:32, 14 ноября 2016