Уровень алгоритма

Алгоритм Δ-шагания: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[выверенная версия][досмотренная версия]
 
Строка 75: Строка 75:
 
== Программная реализация алгоритма ==
 
== Программная реализация алгоритма ==
 
=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===
 
=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===
=== Локальность данных и вычислений ===
 
==== Локальность реализации алгоритма ====
 
===== Структура обращений в память и качественная оценка локальности =====
 
===== Количественная оценка локальности =====
 
 
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
 
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ===
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации ===
+
=== Результаты прогонов ===
==== Масштабируемость алгоритма ====
 
==== Масштабируемость реализации алгоритма ====
 
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ===
 
 
=== Выводы для классов архитектур ===
 
=== Выводы для классов архитектур ===
=== Существующие реализации алгоритма ===
 
  
* C++, MPI: [http://www.boost.org/libs/graph_parallel/doc/html/index.html Parallel Boost Graph Library] (функция <code>[http://www.boost.org/libs/graph_parallel/doc/html/dijkstra_shortest_paths.html#delta-stepping-algorithm delta_stepping_shortest_paths]</code>). {{Buttonlink|http://top53.parallel.ru/algo_results/implementation/25}}
 
* Gap: {{Buttonlink|http://top53.parallel.ru/algo_results/implementation/38}}
 
 
== Литература ==
 
== Литература ==
  

Текущая версия на 10:22, 5 июля 2022


1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм дельта-шагания[1] (англ. Δ-Stepping) предназначен для решения задачи поиска кратчайшего пути на графе. Для заданного ориентированного взвешенного графа с неотрицательными весами алгоритм находит кратчайшие расстояния от выделенной вершины-источника до всех остальных вершин графа. Алгоритм изначально проектировался с целью эффективной параллелизации.

1.2 Математическое описание алгоритма

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Псевдокод последовательного алгоритма:

Входные данные:
  граф с вершинами V, рёбрами E с весами W;
  вершина-источник u;
  параметр Δ > 0.
Выходные данные: расстояния d(v) до каждой вершины vV от вершины u.

procedure DeltaStepping(V, E, W, u, Δ):
     LightEdges := { e ∈ E | W(e) ≤ Δ }
     HeavyEdges := { e ∈ E | W(e) > Δ }
     for each vV do d(v) := ∞
     Relax(u, 0)
     while any({ Buckets(i) ≠ ∅ }):
         Bucket := first({ Buckets(i) ≠ ∅ })
         Deleted := ∅
         while Bucket ≠ ∅:
             Requests := FindRequests(Bucket, LightEdges)
             Deleted := DeletedBucket
             Bucket := ∅
             RelaxAll(Requests)
         RelaxAll(FindRequests(Deleted, HeavyEdges))
         
procedure Relax(v, x):
    if x < d(v):
        OldBucket := B(⌊d(v) / Δ⌋)
        NewBucket := B(⌊x / Δ⌋)
        OldBucket := OldBucket \ {v}
        NewBucket := NewBucket ∪ {v}
        d(v) := x
        
procedure RelaxAll(R):
    for each (v, x) ∈ R do Relax(v, x)
    
function FindRequests(V', E'):
    return { (w, d(w) + W(v, w)) | vV' and (v, w) ∈ E'}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Средняя последовательная сложность алгоритма на графах со случайными весами [math]O(n + m + dL)[/math], где [math]L[/math] – максимальный суммарный вес кратчайшего пути, [math]d[/math] – максимальная длина кратчайшего пути.

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Средняя время работы параллельного алгоритма на графах со случайными весами на [math]O(n)[/math] процессорах составляет [math]O((dL + \ln n) \ln n)[/math] со средней работой [math]O(n + m + dL \ln n)[/math]

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: взвешенный граф [math](V, E, W)[/math] ([math]n[/math] вершин [math]v_i[/math] и [math]m[/math] рёбер [math]e_j = (v^{(1)}_{j}, v^{(2)}_{j})[/math] с весами [math]f_j[/math]), вершина-источник [math]u[/math].

Объём входных данных: [math]O(m + n)[/math].

Выходные данные (возможные варианты):

  1. для каждой вершины [math]v[/math] исходного графа – последнее ребро [math]e^*_v = (w, v)[/math], лежащее на кратчайшем пути от вершины [math]u[/math] к [math]v[/math], или соответствующая вершина [math]w[/math];
  2. для каждой вершины [math]v[/math] исходного графа – суммарный вес [math]f^*(v)[/math] кратчайшего пути от от вершины [math]u[/math] к [math]v[/math].

Объём выходных данных: [math]O(n)[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Предельные случаи алгоритма Δ-шагания:

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.3 Результаты прогонов

2.4 Выводы для классов архитектур

3 Литература

  1. Meyer, U, and P Sanders. “Δ-Stepping: a Parallelizable Shortest Path Algorithm.” Journal of Algorithms 49, no. 1 (October 2003): 114–52. doi:10.1016/S0196-6774(03)00076-2.