Алгоритм Джонсона

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Джонсона предназначен для решения задачи поиска всех кратчайших путей на графе. Для заданного ориентированного взвешенного графа алгоритм находит кратчайшие расстояния между всеми парами вершин за время [math]O(mn + n^2 \ln n)[/math].

В случае разреженных графов алгоритм Джонсона эффективнее алгоритма Флойда-Уоршела, имеющего сложность [math]O(n^3)[/math]. Он применим к в случае произвольных (в том числе отрицательных) вещественных весов, в отличие от алгоритм Дейкстры, имеющего ту же сложность.

1.2 Математическое описание

Алгоритм Джонсона использует алгоритм Беллмана-Форда для предварительной обработки графа, заменяя веса рёбер на неотрицательные. Далее к получившемуся графу многократно применяется алгоритм Дейкстры.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основными вычислительными блоками алгоритма Джонсона являются алгоритм Беллмана-Форда и алгоритм Дейкстры.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

На этапе предварительной обработки выполняется алгоритм Беллмана-Форда сложностью [math]O(mn)[/math]. Далее для каждой вершины графа выполняется алгоритм Дейкстры сложностью [math]O(m + n \ln n)[/math]. Итоговая сложность алгоритма Джонсона [math]O(mn + n^2 \ln n)[/math].

1.8 Описание ресурса параллелизма алгоритма

Алгоритм Джонсона может быть эффективно распараллелен, так как применение алгоритма Дейкстры для каждой вершины производится независимо. Кроме того, вместо алгоритма Дейкстры можно использовать параллельный алгоритм Δ-шагания.

2 Программная реализация алгоритмов

2.7 Существующие реализации алгоритма

• C++: Boost Graph Library (функция johnson_all_pairs_shortest_paths).