Уровень алгоритма

Алгоритм Качмажа

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску


Алгоритм Качмажа (S. Kaczmarz)


1 Общие сведения

1.1 Автор алгоритма

Стефан Качмаж (Stefan Kaczmarz) - польский математик, родился 1895 г. в городе Самбор (Sambor) Галиция (Galicia), Австро-Венгрия (Austria-Hungary), ныне Украина. Качмаж был профессором математики на факультете машиностроения университета Яна Казимира (Jan Kazimierz University) в городе Львов (Lwów) с 1919 по 1939 год, там же сотрудничал с Стефаном Банахом. Предложенный им итерационный метод послужил основой для многих современных технологий в обработке изображений, в том числе в задачах компьютерной томографии [1].

1.2 Краткая библиография

Применение метода С. Качмажа (S. Kaczmarz) или т.н. метода алгебраической реконструкции наиболее известно в задачах реконструктивной компьютерной томографии высокого разрешения. Для интерпретации данных, полученных в результате неразрушающего сканирования некоторого объекта, с 60-70-х годов применяются различные аппаратные и программные реализации итерационного метода, разработанного польским математиком С. Качмажем (S. Kaczmarz) в 1937 году[2]; этот метод был использован Г. Хаусфилдом (G.N. Hounsfield) - конструктором первого томографа «ЭМИ-сканнер»[3] (нобелевская премия по физиологии и медицине в 1979 году).

Так же данный метод можно часто встретить под следующими названиями: Algebraic Reconstruction Technique (ART)[4][5][6], Projection onto Convex Sets (PCS)[7], Kaczmarz Algorithm [8] или метод ортогональных проекций.

Конструированию различных алгоритмов на основе итераций С. Качмажа посвящено существенное количество работ: согласно исследованию польского математика и библиографа А. Сигелски (A. Cegielski), на начало 2010 года статья С. Качмажа цитируется более чем в четырехстах реферируемых и значимых публикациях ученых из различных областей знаний. В Советской и Российской научных школах исследования итераций С. Качмажа представлены в литературе такими известными учеными как: В.Н. Ильин, Г.П. Васильченко, А.А. Светлаков и другие, например, в работах[9][10]. Общие идеи о проекционных методах так же представлены в классической работе Л. Г. Гурина, Б. Т. Поляка, Э. В. Райка[11], где впервые предлагается и обосновывается идентичный алгоритм для решения систем линейных алгебраических неравенств и уравнений.

В 2008 году американскими математиками Т. Штромером (T. Strohmer) и Р. Вершининым (R. Vershynin) в [12] была предложена рандомизированная модификация итерационного метода, в которой последовательность приближений к решению, для совместных и переопределенных с.л.а.у. сходится с экспоненциальной скоростью.

Множество модификаций идеи метода ортогональных проекций нашли свое практическое применение в различных областях знаний, связанных с обработкой и интерпретацией больших объемов данных: при реконструкции синограмм в медицине, биологии, геологии; при решении задач диагностики плазмы, кристаллографии[13], дефектоскопии и микроскопии, параллельных вычислений и распределенного анализа[14] и др.

1.3 Геометрическая интерпретация

Метод алгебраической реконструкции достаточно просто формулируется с использованием его геометрической интерпретации. Рассмотрим совместную с.л.а.у. с двумя неизвестными

[math]A=\begin{pmatrix}3 & 2\\
2 & 3
\end{pmatrix},\text{ }f=\begin{pmatrix}1\\
2
\end{pmatrix}[/math]

и несовместную переопределенную, полученную добавлением к этой системед ополнительного уравнения [math]-u_{1}+u_{2}=1.5[/math]. Каждое уравнение из с.л.а.у. можно интерпретировать как гиперплоскость в пространстве координат, а решение совместной с.л.а.у. - как точку пересечения всех этих гиперплоскостей. При использовании метода алгебраической реконструкции для решения с.л.а.у. поиск приближенного решения осуществляется в направлениях, перпендикулярных к гиперплоскостям, каждая из которых описывается отдельным уравнением решаемой системы.

Kz geom in.png

  1. Natterer, Frank (2001), "V.3 Kaczmarz's method", The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32, SIAM, p. 128, ISBN 9780898714937.
  2. Kaczmarz, S. Angenäherte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen [Текст] / S. Kaczmarz // Bulletin International de l'Académie Polonaise des Sciences et des Lettres / Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. Série A, Sciences Mathématiques. — 1937. — Vol. 35. — С. 355-357.
  3. Hounsfield, G. N. A Discussion on Recent Developments in Medical Endoscopy and Related Fields [Текст] / G. N. Hounsfield // Proceedings of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. — 1977. — Vol. 195, N. 1119. — С. 281-289.
  4. Gordon, R. Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography [Текст] / R. Gordon, R. Bender, G. T. Herman // Journal of theoretical biology. — 1970. — Vol. 29, Issue 3. — С. 471–481.
  5. Micke, A. The Mathematics of Computerized Tomography [Текст] / A. Micke, F. Natterer // ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (Journal of Applied Mathematics and Mechanics). — 1987. — Vol. 67, Issue 11. — С. 580. —ISBN 3-519-02103-X and 0-471-90959-9.
  6. Herman, G. T. Fundamentals of computerized tomography: Image reconstruction from projection [Текст] : 2nd ed. / G. T. Herman. — Springer, 2009. — 300 с.
  7. Sezan, K. M. Applications of convex projection theory to image recovery in tomography and related areas [Текст] / K. M. Sezan, H. Stark // Image Recovery: Theory and Application / H. Stark, editor. — Academic Press, 1987. — С. 415-462.
  8. Cegielski, A. Bibliography on the Kaczmarz method [Электронный ресурс] : Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics University of Zielona Gora ; Poland, March, 28th, 2010 / Режим доступа: http://www.uz.zgora.pl/~acegiels/Publikacje-Kaczmarz.pdf
  9. Ильин, В. П. Об итерационном методе Качмажа и его обобщениях [Текст] / В. П. Ильин // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2006. — Т. 9, вып. 3. — С. 39–49.
  10. Г. П. Васильченко, А. А. Светлаков, “Проекционный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 20:1 (1980), 3–10.
  11. Л. Г. Гурин, Б. Т. Поляк, Э. В. Райк, “Методы проекций для отыскания общей точки выпуклых множеств”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 7:6 (1967), 1211–1228
  12. Strohmer, T. A Randomized Kaczmarz Algorithm with Exponential Convergence [Текст] / T. Strohmer, R. Vershynin // Journal of Fourier Analysis and Applications. — 2009. — Vol. 15, Issue 2. — С. 262-278.
  13. Marks, L. D. A feasible set approach to the crystallographic phase problem [Текст] / L. D. Marks, W. Sinkler, E. Landree // Acta Crystallographica Section A. — 1987. — Vol. 55, Issue 4. — С. 601-612.
  14. JElble, J. M. GPU computing with Kaczmarz’s and other iterative algorithms for linear systems [Текст] / J. M. Elble, N. V. Sahinidis, P. Vouzis // Parallel Computing. — 2010. — Vol. 36, Issues 5-6. — С. 215–231.