Алгоритм Тарьяна-Вишкина поиска компонент двусвязности: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Строка 41: Строка 41:
 
• пометка рёбер <math>v \rightarrow w</math> мостами, если <math>H(w)<=N(w)</math> и <math>L(w)>N(w)-D(w)</math>.
 
• пометка рёбер <math>v \rightarrow w</math> мостами, если <math>H(w)<=N(w)</math> и <math>L(w)>N(w)-D(w)</math>.
  
−
Основной идеей для обеспечения завершения работы алгоритма за <math>O(ln n)</math> шагов является систематическое использование операции удвоения указателей.
+
Основной идеей для обеспечения завершения работы алгоритма за <math>O( \ln n)</math> шагов является систематическое использование операции удвоения указателей.
  
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===

Версия 18:21, 18 ноября 2016

Содержание

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Параллельный алгоритм Тарьяна-Вишкина [1] находит компоненты двухсвязности неориентированного графа за время [math]O(\ln n)[/math] на [math]O(m + n)[/math] процессорах. Алгоритм может быть адаптирован для поиска мостов. Эффективность алгоритма Тарьяна-Вишкина подтверждена в последнее время[2][3] как на системах архитектуры SMP, так и при вычислениях на GPU.

1.2 Математическое описание алгоритма

1. Для каждой компоненты связности графа найти какое-либо остовное дерево [math]T[/math].

2. Перенумеровать вершины [math]T[/math] в порядке обратного обхода.

3. В порядке возрастания номера вершины выполнить следующие действия:

a. [math]D(v) := 1+ \sum_{v \rightarrow w}D(w) [/math]

b. [math] L(v) := \min { \{N(v) - D(v)+1 \} \cup \{ L(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]

c. [math] H(v) := \max { \{ N(v) \} \cup \{ H(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]

d. Пометить ребро [math]v \rightarrow w[/math] мостом, если [math]H(w)\lt =N(w)[/math] и [math]L(w)\gt N(w)-D(w)[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

На первом шаге работы алгоритма строится остовный лес графа с использованием модифицированного алгоритма Шилоаха-Вишкина.

Для этого для каждой вершины [math]v[/math] определяется указатель на родительскую вершину [math]P(v)[/math]; на шаге инициализации [math]P(v):=v[/math]. Далее остовный лес строится чередованием двух параллельных операций:

• Удвоение указателей: [math]P(v):=P(P(v))[/math] ;

• Соединение: [math]P(P(v)):=P(w)[/math], где [math]v[/math] – вершина [math]P[/math]-дерева ( [math]P(v)=v[/math]на текущем шаге), [math]w[/math]– некоторая вершина, для которой существует ребро [math](v,w)\in E[/math]. Ребро помечается, как принадлежащее остовному лесу .

Далее производятся следующие шаги:

• перенумерация вершин в обратном порядке обхода (post-order);

• вычисление количества потомков [math]D(v)[/math] для каждой вершины;

• вычисление значений [math]L(v)[/math] и [math]H(v)[/math] для каждой вершины;

• пометка рёбер [math]v \rightarrow w[/math] мостами, если [math]H(w)\lt =N(w)[/math] и [math]L(w)\gt N(w)-D(w)[/math].

Основной идеей для обеспечения завершения работы алгоритма за [math]O( \ln n)[/math] шагов является систематическое использование операции удвоения указателей.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательный вариант алгоритма аналогичен алгоритму Тарьяна[4] и имеет линейную сложность [math]O(m + n)[/math].

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм изначально параллельный, время работы [math]O(\ln n)[/math] на [math]O(m + n)[/math] процессорах.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

1. Компонента сильной связности – подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.

2. Компонента сильной связности является объединением всех циклом, проходящих через её вершины.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.2.1 Локальность реализации алгоритма

2.2.1.1 Структура обращений в память и качественная оценка локальности
2.2.1.2 Количественная оценка локальности

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.1 Масштабируемость алгоритма

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

  1. ↑ Tarjan, Robert Endre, and Uzi Vishkin. “An Efficient Parallel Biconnectivity Algorithm.” SIAM Journal on Computing 14, no. 4 (1985): 862–74.
  2. ↑ Edwards, James A, and Uzi Vishkin. “Better Speedups Using Simpler Parallel Programming for Graph Connectivity and Biconnectivity,” PMAM’12, 103–114, New York, USA: ACM Press, 2012. doi:10.1145/2141702.2141714
  3. ↑ Guojing Cong, and David A Bader. “An Experimental Study of Parallel Biconnected Components Algorithms on Symmetric Multiprocessors (SMPs),” 45b, IEEE, 2005. doi:10.1109/IPDPS.2005.100.
  4. ↑ Tarjan, Robert. “Depth-First Search and Linear Graph Algorithms.” SIAM Journal on Computing 1, no. 2 (1972): 146–60.
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Алгоритм_Тарьяна-Вишкина_поиска_компонент_двусвязности&oldid=18177