Однокубитное преобразование вектора-состояния: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
| Строка 7: | Строка 7: | ||
Алгоритм производит моделирование действия однокубитного квантового вентиля на вектор-состояние. | Алгоритм производит моделирование действия однокубитного квантового вентиля на вектор-состояние. | ||
| − | + | ||
| − | |||
=== Математическое описание === | === Математическое описание === | ||
| Строка 14: | Строка 13: | ||
Исходные данные: | Исходные данные: | ||
Целочисленные параметры <math>n - </math> число кубитов (необязательно) и <math>k -</math> номер кубита, над которым производится преобразование. | Целочисленные параметры <math>n - </math> число кубитов (необязательно) и <math>k -</math> номер кубита, над которым производится преобразование. | ||
| − | Комплексная матрица | + | Комплексная матрица <math>U = \begin{pmatrix} |
u_{00} & u_{01}\\ | u_{00} & u_{01}\\ | ||
u_{10} & u_{11} | u_{10} & u_{11} | ||
| − | \end{pmatrix}</math> размера <math>2 \times 2.</math> | + | \end{pmatrix}</math> однокубитного преобразования размера <math>2 \times 2.</math> |
| − | + | Комплексный вектор <math>v</math> размерности <math>2^n,</math> задающей начальное состояние многокубитной системы. | |
Вычисляемые данные: комплексный вектор <math>w</math> размерности <math>2^n,</math> соответствующий состоянию после преобразования. | Вычисляемые данные: комплексный вектор <math>w</math> размерности <math>2^n,</math> соответствующий состоянию после преобразования. | ||
Формулы метода: | Формулы метода: | ||
| + | |||
| + | Состояние после действия преобразования <math>U</math> на <math>k-</math>й кубит имеет вид <math>v_{out} = I_{2^{k-1}}\otimes U \otimes I_{2^{n-k}},</math> где <math>I_{j} - </math> единичная матрица размерности <math>j,</math> а <math>\otimes - </math> тензорное произведение (произведение Кронекера). | ||
| + | |||
| + | Однако, элементы итогового вектора можно записать и в прямом виде, что более удобно для вычислений: | ||
| + | |||
:<math> | :<math> | ||
w_{i_1i_2\ldots \i_k \ldots i_n} = \sum\limits_{j_k=0}^1 u_{i_k j} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots i_n} = u_{i_k 0} v_{i_1i_2\ldots 0_k \ldots i_n} + u_{i_k 1} v_{i_1i_2\ldots 1_k \ldots i_n} | w_{i_1i_2\ldots \i_k \ldots i_n} = \sum\limits_{j_k=0}^1 u_{i_k j} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots i_n} = u_{i_k 0} v_{i_1i_2\ldots 0_k \ldots i_n} + u_{i_k 1} v_{i_1i_2\ldots 1_k \ldots i_n} | ||
Версия 03:26, 19 ноября 2014
Содержание
- 1 Описание свойств и структуры алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Информационный граф
- 1.7 Описание ресурса параллелизма алгоритма
- 1.8 Описание входных и выходных данных
- 1.9 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация
- 3 Литература
1 Описание свойств и структуры алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм производит моделирование действия однокубитного квантового вентиля на вектор-состояние.
1.2 Математическое описание
Исходные данные: Целочисленные параметры [math]n - [/math] число кубитов (необязательно) и [math]k -[/math] номер кубита, над которым производится преобразование. Комплексная матрица [math]U = \begin{pmatrix} u_{00} & u_{01}\\ u_{10} & u_{11} \end{pmatrix}[/math] однокубитного преобразования размера [math]2 \times 2.[/math] Комплексный вектор [math]v[/math] размерности [math]2^n,[/math] задающей начальное состояние многокубитной системы.
Вычисляемые данные: комплексный вектор [math]w[/math] размерности [math]2^n,[/math] соответствующий состоянию после преобразования.
Формулы метода:
Состояние после действия преобразования [math]U[/math] на [math]k-[/math]й кубит имеет вид [math]v_{out} = I_{2^{k-1}}\otimes U \otimes I_{2^{n-k}},[/math] где [math]I_{j} - [/math] единичная матрица размерности [math]j,[/math] а [math]\otimes - [/math] тензорное произведение (произведение Кронекера).
Однако, элементы итогового вектора можно записать и в прямом виде, что более удобно для вычислений:
- [math] w_{i_1i_2\ldots \i_k \ldots i_n} = \sum\limits_{j_k=0}^1 u_{i_k j} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots i_n} = u_{i_k 0} v_{i_1i_2\ldots 0_k \ldots i_n} + u_{i_k 1} v_{i_1i_2\ldots 1_k \ldots i_n} [/math]
Индекс-кортеж [math]i_1i_2\ldots i_n[/math] представляет собой двоичную запись индекса элемента в массиве.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительное ядро алгоритма представляет собой независимое вычисление всех [math]2^n[/math] элементов вектора [math]w.[/math] Вычисление каждого элемента требует две операции умножения и одну операцию сложения. Кроме того необходимо вычислять индексы типа [math]i_1i_2\ldots 0_k \ldots i_n,[/math] а также значение бита [math]i_k,[/math] что требует побитовых операций.
