Определение диаметра графа

Досмотренная версия этой страницы, подтверждённая 14 марта 2018, была основана на этой версии.

Содержание

1 Свойства и структура алгоритма
2 Программная реализация алгоритма
3 Литература

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Диаметром неориентированного графа называется максимальная длина кратчайшего пути между двумя вершинами. Классический способ определения диаметра – выполнить поиск в ширину от всех вершин, тогда диаметр равен максимальному из найденных расстояний. Сложность такого подхода составляет [math]O(mn)[/math], и в худшем случае (например, когда граф является циклом) эту оценку, по-видимому, улучшить нельзя.

Алгоритм iFUB^[1] (англ. iterative Fringe Upper Bound) позволяет уменьшить количество вызовов алгоритма поиска в ширину. Для многих реальных графов будет достаточно всего нескольких вызовов и общая сложность будет близка к линейной [math]O(m)[/math].

1.2 Математическое описание алгоритма

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма iFUB равна [math]O(Bm)[/math], где [math]B[/math] – число вызовов алгоритма поиска в ширину, сложность каждого вызова [math]O(m)[/math]. В худшем случае (граф является циклом) [math]B = n[/math] и общая сложность равна [math]O(mn)[/math], однако для многих реальных графов [math]B = O(1)[/math] и общая сложность составляет [math]O(m)[/math].

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: неориентированный граф [math](V, E)[/math] ([math]n[/math] вершин [math]v_i[/math] и [math]m[/math] рёбер).

Объём входных данных: [math]O(m + n)[/math].

Выходные данные: диаметр графа [math](V, E)[/math].

Объём выходных данных: [math]O(1)[/math].

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.2.1 Локальность реализации алгоритма

2.2.1.1 Структура обращений в память и качественная оценка локальности

2.2.1.2 Количественная оценка локальности

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.1 Масштабируемость алгоритма

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Java: WebGraph (класс FourSweepIterativeFringeDiameter), многопоточная реализация. Алгоритм был использован для вычисления диаметра подграфа социальной сети Facebook (149 миллионов вершин, 16 миллиардов рёбер), время работы составило 20 минут^[2].
Python/C++: NetworKit (класс networkit.properties.Diameter).

3 Литература

↑ Crescenzi, Pilu, Roberto Grossi, Michel Habib, Leonardo Lanzi, and Andrea Marino. “On Computing the Diameter of Real-World Undirected Graphs.” Theoretical Computer Science 514 (November 2013): 84–95. doi:10.1016/j.tcs.2012.09.018.
↑ Backstrom, Lars, Paolo Boldi, Marco Rosa, Johan Ugander, and Sebastiano Vigna. “Four Degrees of Separation,” WebSci'12, 33–42, New York, New York, USA: ACM Press, 2012. doi:10.1145/2380718.2380723.

[1] Crescenzi, Pilu, Roberto Grossi, Michel Habib, Leonardo Lanzi, and Andrea Marino. “On Computing the Diameter of Real-World Undirected Graphs.” Theoretical Computer Science 514 (November 2013): 84–95. doi:10.1016/j.tcs.2012.09.018.

[2] Backstrom, Lars, Paolo Boldi, Marco Rosa, Johan Ugander, and Sebastiano Vigna. “Four Degrees of Separation,” WebSci'12, 33–42, New York, New York, USA: ACM Press, 2012. doi:10.1145/2380718.2380723.

[1]

[2]