Приложение 3: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
(Полностью удалено содержимое страницы)
 
Строка 1: Строка 1:
= Обратная подстановка метода Гаусса (вещественный вариант) =
 
  
== Свойства и структура алгоритма ==
 
 
=== Общее описание алгоритма ===
 
 
'''Обратная подстановка''' - решение ''системы линейных алгебраических уравнений'' ('''СЛАУ''') <math>Ux = y</math> с верхней треугольной матрицей <math>U</math>. Матрица <math>U</math> может быть одной из составляющих матрицы <math>A</math> в каких-либо разложениях и получается либо из <math>LU</math>-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, [[Метод Холецкого (квадратного корня), точечный вещественный вариант|разложение Холецкого]] и др.), либо из других (например из QR-разложения).  В силу треугольности <math>U</math> решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.
 
 
В<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984.</ref> методом '''обратной подстановки''' назван также и метод решения СЛАУ с ''нижней треугольной матрицей''. Там же отмечено, что в литературе иногда под ''обратной подстановкой'' имеют в виду, как и здесь, только решения СЛАУ с ''верхней треугольной матрицей'', а решение ''нижних'' треугольных систем называют [[Прямая подстановка (вещественный вариант)|прямой подстановкой]]. Такой же системы названий будем придерживаться и здесь, во избежание одноимённого названия разных алгоритмов. Кроме того, '''обратная подстановка''', представленная здесь, одновременно может быть частью '''метода Гаусса для решения СЛАУ''', а именно - его '''обратным ходом''', чего нельзя сказать про [[Прямая подстановка (вещественный вариант)|прямую подстановку]].
 
 
Существует метод со сходным названием - [[Обратная подстановка с нормировкой]]. При том, что он решает, по существу, ту же задачу, что и простая '''обратная подстановка''', его схема несколько сложнее. Это связано со специальными мерами по уменьшению влияния ошибок округления на результат. [[Обратная подстановка с нормировкой]] на данной странице не рассматривается.
 
 
=== Математическое описание алгоритма ===
 
 
Исходные данные: верхняя треугольная матрица <math>U</math> (элементы <math>u_{ij}</math>), вектор правой части <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).
 
 
Вычисляемые данные: вектор решения <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).
 
 
Формулы метода:
 
:<math>
 
\begin{align}
 
x_{n} & = y_{n}/u_{nn} \\
 
x_{i} & = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii}, \quad i \in [1, n - 1].
 
\end{align}
 
</math>
 
 
Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.
 
 
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 
 
Вычислительное ядро обратной подстановки можно составить из множественных (всего их <math>n-1</math>) вычислений скалярных произведений подстрок матрицы <math>U</math> на уже вычисленную часть вектора <math>x</math>:
 
 
:<math> \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>
 
 
в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи, с их последующим вычитанием из компоненты вектора <math>y</math> и деления на диагональный элемент матрицы <math>U</math>. В отечественных реализациях, даже в последовательных, упомянутый способ представления не используется. Дело в том, что даже в этих реализациях метода вычисление сумм типа
 
 
:<math> y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>
 
 
в которых и встречаются скалярные произведения, ведутся не в порядке «вычислили скалярное произведение, а потом вычли его из элемента», а путём вычитания из элемента покомпонентных произведений, являющихся частями скалярных произведений. Поэтому следует считать вычислительным ядром метода не вычисления скалярных произведений, а вычисления выражений
 
 
:<math> y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>
 
 
в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи, плюс деления результатов этих вычислений на диагональные элементы матрицы.
 
 
=== Макроструктура алгоритма ===
 
 
Как уже записано в [[#Вычислительное ядро алгоритма|описании ядра алгоритма]], основную часть метода обратной подстановки составляют множественные (всего <math>n-1</math>) вычисления сумм
 
 
:<math>y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>
 
 
в режиме накопления или без него, плюс деления результатов этих вычислений на диагональные элементы матрицы.
 
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 
 
Последовательность исполнения такова:
 
 
1. <math>x_{n} = y_{n}/u_{nn}</math>
 
 
Далее для всех <math>i</math> от <math>n-1</math> до <math>1</math> ''по убыванию'' выполняются
 
 
2. <math>x_{i} = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii}</math>
 
 
Особо отметим, что вычисления сумм вида <math>y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j}</math> производят в режиме накопления вычитанием из <math>y_{i}</math> произведений <math>u_{ij} x_{j}</math> для <math>j</math> от <math>n</math> до <math>i + 1</math>, '''''c убыванием''''' <math>j</math>. '''''Другие порядки выполнения суммирования приводят к резкому ухудшению параллельных свойств алгоритма''''', хотя, к сожалению, остаются кое-где в литературе и пакетах программ. В качестве примера такого порядка можно привести фрагмент программы из<ref>Дж.Форсайт, К.Моллер. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. - М.:Мир, 1969.</ref>, где обратная подстановка является обратным ходом в методе Гаусса, а возрастание индекса суммирования связано, в основном, с ограничениями используемого авторами книги старого диалекта Фортрана.
 
 
=== Последовательная сложность алгоритма ===
 
 
Для обратной подстановки в случае решения линейной системы с верхней треугольной матрицей порядка <math>n</math>  в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:
 
 
* <math>n</math> делений,
 
* <math>\frac{n^2-n}{2}</math> сложений (вычитаний),
 
* <math>\frac{n^2-n}{2}</math> умножений.
 
Умножения и сложения (вычитания) — ''основная часть алгоритма''.
 
 
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране).
 
 
При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам ''со сложностью'' <math>O(n^2)</math>.
 
 
=== Информационный граф ===
 
 
Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.
 
 
Граф алгоритма обратной подстановки состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей разной размерности.
 
 
[[Файл:DirectU.png|450px|thumb|left|Рис. 1. Обратная подстановка]]
 
 
'''Первая''' группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию деления.
 
Естественно введённая единственная координата каждой из вершин <math>i</math> меняется в диапазоне от <math>n</math> до <math>1</math>, принимая все целочисленные значения.
 
 
Делимое в этой операции:
 
 
* при <math>i = n</math> — элемент ''входных данных'', а именно  <math>y_{n}</math>;
 
* при <math>i < n</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами <math>i</math>, <math>i+1</math>.
 
 
Делитель для этой операции - элемент ''входных данных'', а именно  <math>u_{nn}</math>.
 
 
Результат срабатывания операции является ''выходным данным'' <math>x_{i}</math>.
 
 
'''Вторая''' группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция  <math>a-bc</math>.
 
Естественно введённые координаты области таковы:
 
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>n-1</math> до <math>1</math>, принимая все целочисленные значения;
 
* <math>j</math> — меняется в диапазоне от <math>n</math> до <math>i+1</math>, принимая все целочисленные значения.
 
 
Аргументы операции следующие:
 
*<math>a</math>:
 
** при <math>j = n</math> элемент ''входных данных'' <math>y_{i}</math>;
 
** при <math>j < n</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами <math>i, j+1</math>;
 
*<math>b</math> — элемент ''входных данных'', а именно  <math>u_{ij}</math>;
 
*<math>c</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатой <math>j</math>.
 
 
Результат срабатывания операции является ''промежуточным данным'' алгоритма.
 
 
Описанный граф можно посмотреть на рис. 1, выполненном для случая <math>n = 5</math>. Здесь вершины первой группы обозначены жёлтым цветом и знаком деления, вершины второй — зелёным цветом и буквой f. Изображена подача только входных данных из вектора <math>y</math>, подача элементов матрицы <math>U</math>, идущая во все вершины, на рисунке не представлена.
 
 
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
 
 
Для обратной подстановки в случае решения линейной системы с верхней треугольной матрицей порядка <math>n</math> в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
 
* <math>n</math> ярусов делений (в каждом из ярусов одно деление),
 
* по <math>n - 1</math> ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — линейное количество операций, от <math>1</math> до <math>n-1</math>.
 
 
Таким образом, в параллельном варианте, в отличие от последовательного, вычисления делений будут определять довольно значительную долю требуемого времени. При реализации на конкретных архитектурах наличие в отдельных ярусах [[глоссарий#Ярусно-параллельная форма графа алгоритма|ЯПФ]] отдельных делений может породить и другие проблемы. Например, при реализации метода обратной подстановки на ПЛИСах остальные вычисления (умножения и сложения/вычитания) могут быть конвейеризованы, что даёт экономию и по ресурсам на программируемых платах; деления из-за их изолированности приведут к занятию ресурсов на платах, которые будут простаивать большую часть времени.
 
 
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.
 
 
При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''линейной''.
 
 
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
 
 
'''Входные данные''': верхняя треугольная матрица <math>U</math> (элементы <math>u_{ij}</math>), вектор правой части <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).
 
 
'''Объём входных данных''': :<math>\frac{n (n + 3)}{2}</math> (в силу треугольности достаточно хранить только ненулевые элементы матрицы <math>U</math>).
 
 
'''Выходные данные''': вектор решения <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).
 
 
'''Объём выходных данных''': :<math>n~.</math>
 
 
=== Свойства алгоритма ===
 
 
Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''линейным'' (отношение квадратической к линейной).
 
 
При этом вычислительная мощность алгоритма обратной подстановки, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь ''константа''.
 
 
При этом алгоритм обратной подстановки полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается, поскольку в корне меняет структуру алгоритма и меняет сложность с линейной на квадратичную.
 
 
Наличие линейного количества ярусов ЯПФ, состоящих из одного-единственного деления, потенциально замедляющее параллельные реализации алгоритма, является его характерным "узким местом", особенно в сравнении со схожей по решаемой математической задаче [[Прямая подстановка (вещественный вариант)|прямой подстановке]], где диагональные элементы единичны. В связи с этим для решения СЛАУ предпочтительны такие разложения, содержащие треугольные матрицы, где в треугольных матрицах диагональные элементы единичны. В тех же случаях, когда получаются неособенные треугольные матрицы, их желательно предварительно, до решения СЛАУ с ними, преобразовать в произведение диагональной и треугольной с единичными диагональными элементами.
 
 
У алгоритма обратной подстановки существует несколько блочных вариантов. Граф некоторых из них совпадает с графом точечного варианта, различия связаны в основном с порядком прохождения основных циклов алгоритма, а именно - с их развёртыванием и перестановкой. Эти приёмы могут помочь в оптимизации обменов на конкретных вычислительных системах.
 
 
== Литература ==
 
<references />
 

Текущая версия на 11:08, 17 сентября 2015