Приложение 5: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
(Новая страница: «= Скалярное произведение векторов, вещественная версия, последовательно-параллельный в…»)
 
(Полностью удалено содержимое страницы)
Строка 1: Строка 1:
= Скалярное произведение векторов, вещественная версия, последовательно-параллельный вариант =
 
  
== Свойства и структура алгоритма ==
 
 
=== Общее описание алгоритма ===
 
 
==== Решаемая задача ====
 
 
Схема Горнера решает задачу деления многочлена <math>P_n(x)</math> с известными коэффициентами на двучлен <math>x - \alpha</math>. В качестве результатов выступают коэффициенты многочлена <math>Q_{n - 1}(x)</math> из соотношения
 
 
:<math>P_n(x) - P_n(\alpha) = (x - \alpha) Q_{n - 1}(x)</math>,
 
 
а также <math>P_n(\alpha)</math> (значение многочлена <math>P_n(x)</math> в точке <math>\alpha</math>)
 
 
К сожалению, зачастую в учебной литературе схему Горнера сводят к вычислению значения многочлена <math>P_n(x)</math> в точке <math>\alpha</math>.
 
 
==== Общая схема ====
 
 
Фактически схема Горнера реализует «деление уголком» многочлена на двучлен <math>x - \alpha</math>, с нахождением остатка, который, по теореме Безу, равен значению многочлена <math>P_n(x)</math> в точке <math>\alpha</math>.
 
 
=== Математическое описание алгоритма ===
 
 
Исходные данные: одномерный массив <math>n + 1</math> чисел <math>a_k</math> и скаляр <math>\alpha</math>.
 
 
Вычисляемые данные: одномерный массив <math>n + 1</math> чисел <math>b_k</math>.
 
 
Формулы метода с выводом: из соотношения
 
 
:<math>P_n(x) - P_n(\alpha) = (x - \alpha) Q_{n - 1}(x)</math>
 
 
если записать оба многочлена в каноническом виде
 
 
:<math>
 
\begin{align}
 
P_n(x)      & = a_0 x^n+ a_1 x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_n, \\
 
Q_{n - 1}(x) & = b_0 x^{n - 1} + b_1 x^{n - 2} + \dots + b_{n - 2} x + b_{n - 1}
 
\end{align}
 
</math>
 
 
и приписать «свободному» <math>b_n</math> значение <math>P_n(\alpha)</math>, то, при подстановке многочленов в каноническом виде в исходное соотношение и приравнивании коэффициентов равных степеней, в качестве решения получается
 
 
:<math>
 
\begin{align}
 
b_0 & = a_0, \\
 
b_k & = a_k + \alpha b_{k - 1}, \quad k = 1, \dots, n
 
\end{align}
 
</math>
 
 
что и является '''формулами схемы Горнера'''.
 
 
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 
 
Вычислительное ядро схемы Горнера в последовательном варианте можно представить в качестве последовательного набора <math>n</math> «двойных» операций (умножение элементов получаемого массива на один и тот же скаляр и добавление результата к следующему элементу входного массива).
 
 
=== Макроструктура алгоритма ===
 
 
Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть вычисления схемы Горнера произведения составляет массовый последовательный набор «двойных› операций (умножение элементов получаемого массива на один и тот же скаляр и добавление результата к следующему элементу входного массива).
 
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 
 
Формулы метода описаны выше. Последовательность исполнения — по возрастанию индекса ''k''.
 
 
=== Последовательная сложность алгоритма ===
 
 
Для вычисления схемы Горнера для многочлена степени <math>n</math>, количество операций умножения равно количеству операций сложения и равно <math>n</math>. Поэтому алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам ''линейной'' сложности по количеству последовательных операций.
 
 
=== Информационный граф ===
 
 
На рис.1 изображён граф алгоритма для <math>n = 9</math>. Как видно, граф чисто последовательный. Ввод и вывод обозначен только для начального коэффициента и значения многочлена. Op - операция "умножить входное данное на скаляр и прибавить к другому данному".
 
 
[[file:Basic sequental algorithm graph.png|center|thumb|800px|Рисунок 1. Схема Горнера: последовательная версия]]
 
 
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
 
 
Последовательный вариант вычисления схемы Горнера не имеет ресурсов параллелизма. Его ярусно-параллельная форма (ЯПФ) — единственна и совпадает с последовательным алгоритмом. Таким образом, в получившемся алгоритме высота параллельной формы будет равна <math>n</math> операций умножения плюс <math>n</math> операций сложения. В таком виде алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам ''линейной'' сложности по высоте параллельной формы. Ширина параллельной формы равна <math>1</math>, что даёт нам ''постоянную'' сложность по ширине параллельной формы.
 
 
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
 
 
Входные данные: массив <math>a</math> (элементы <math>a_i</math> с номерами от <math>0</math> до <math>n</math>), скаляр <math>\alpha</math>.
 
 
Дополнительные ограничения: отсутствуют.
 
 
Объём входных данных: <nowiki/><math>n + 2</math>.
 
 
Выходные данные: массив <math>b</math> (элементы <math>b_k</math> с номерами от <math>0</math> до <math>n</math>).
 
 
Объём выходных данных: <nowiki/><math>n + 1</math>.
 
 
=== Свойства алгоритма ===
 
 
Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''константой'' (1). При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных — всего-навсего ''1 (входных и выходных данных даже на 1 больше, чем количество операций)''. При этом алгоритм полностью детерминирован. Дуги информационного графа локальны. По устойчивости схема Горнера оптимальна для вычисления значения многочлена с известными коэффициентами.
 
 
== Литература ==
 
<references />
 

Версия 11:05, 11 сентября 2015