Приложение 7: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
(Полностью удалено содержимое страницы)
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
= Последовательно-параллельный метод суммирования =
 
  
== Свойства и структура алгоритма ==
 
 
=== Общее описание алгоритма ===
 
 
'''Последовательно-параллельный метод''' используется в качестве эрзаца блочной реализации вычисления длинных последовательностей ассоциативных операций (например, массового суммирования). Получил распространение благодаря следующим особенностям: а) реализует приём получения двойных циклов из одинарных; б) в последовательной архитектуре компьютеров позволял для ряда операций уменьшать влияние округления на результат. Здесь будем описывать его версию для суммирования чисел.
 
 
=== Математическое описание алгоритма ===
 
 
Исходные данные: одномерный массив <math>N</math> чисел.
 
 
Вычисляемые данные: сумма элементов массива.
 
 
Формулы метода: число <math>N</math> разлагается в выражение типа <math>N = (p - 1) k + q</math>, где <math>p</math> — количество процессоров, <math>k = \lceil \frac{N}{p} \rceil</math>, <math>q = N - k (p - 1)</math>.
 
 
После этого на <math>i</math>-м процессоре (<math>i < p</math>) последовательно вычисляется сумма элементов массива, начиная с <math>(i - 1) k + 1</math>-го, до <math>i k</math>-го.
 
:<math>S_i = \sum_{j = 1}^k x_{k (i - 1) + j}</math>
 
 
На <math>p</math>-м процессоре последовательно вычисляется сумма элементов массива, начиная с <math>(p - 1) k + 1</math>-го до <math>(p - 1) k + q</math>-го.
 
:<math>S_p = \sum_{j = 1}^q x_{k (p - 1) + j}</math>
 
 
По окончании этого процесса процессоры обмениваются данными и на одном из них (либо на всех одновременно, если результат нужен далее на всех процессорах) получившиеся суммы суммируются последовательно друг с другом.
 
:<math>\sum_{i = 1}^p S_i</math>
 
 
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 
 
Вычислительное ядро последовательно-параллельного метода суммирования можно составить из множественных (всего <math>p</math>) вычислений сумм элементов массива:
 
:<math>S_i = \sum_{j = 1}^k x_{k (i - 1) + j}</math>
 
 
и ещё одного вычисления суммы элементов частичных сумм
 
:<math>\sum_{i = 1}^p S_i</math>
 
 
=== Макроструктура алгоритма ===
 
 
Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего <math>p + 1</math>) вычисления сумм
 
:<math>S_i = \sum_{j = 1}^k x_{k (i - 1) + j}</math>
 
:<math>\sum_{i = 1}^p S_i</math>
 
 
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 
 
Формулы метода описаны выше. Последовательность исполнения суммирования может быть разная — как по возрастанию, так и по убыванию индексов. Обычно без особых причин порядок не меняют, используя естественный (возрастание индексов).
 
 
=== Последовательная сложность алгоритма ===
 
 
Для вычисления суммы массива, состоящего из <math>N</math> элементов, при любых разложениях <math>N</math> суть алгоритма сводится к простому переставлению скобок в формуле суммирования, и количество операций неизменно и равно <math>N - 1</math>. Поэтому алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам ''линейной'' сложности по количеству последовательных операций.
 
 
=== Информационный граф ===
 
 
На рис.1 изображён граф алгоритма. В данном случае выполнено суммирование 30 элементов массива.
 
 
[[file:series-parallel summation graph.png|center|thumb|600px|Рисунок 1. Последовательно-параллельный метод суммирования массива]]
 
 
=== Описание ресурса параллелизма алгоритма ===
 
 
Для суммирования массива порядка <math>n</math> последовательно-параллельным методом в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
 
* <math>k - 1</math> ярусов суммирования по частям массива (<math>p</math> ветвей),
 
* <math>p - 1</math> ярусов суммирования (одна последовательная ветвь).
 
 
Таким образом, в параллельном варианте критический путь алгоритма (и соответствующая ему высота ЯПФ) будет зависеть от произведённого разбиения массива на части. В оптимальном случае (<math>p = \sqrt{n}</math>)  высота ЯПФ будет равна <math>2 \sqrt{n} - 2</math>.
 
 
При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, последовательно-параллельный метод относится к алгоритмам со сложностью ''корень квадратный''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность будет такой же — ''корень квадратный''.
 
 
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
 
 
Входные данные: массив <math>\vec{x}</math> (элементы <math>x_i</math>).
 
 
Дополнительные ограничения: отсутствуют.
 
 
Объём входных данных: <nowiki/><math>N</math>.
 
 
Выходные данные: сумма элементов массива.
 
 
Объём выходных данных: один скаляр.
 
 
=== Свойства алгоритма ===
 
 
Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''корнем квадратным'' (отношение линейной к корню квадратному). При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных — всего-навсего ''1 (входных и выходных данных столько же, сколько операций)''. При этом алгоритм не вполне полностью детерминирован, суммирование может быть проведено в разном порядке. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций может дать, с учётом особенностей входных данных, уменьшение влияния ошибок округления на результат. Дуги информационного графа локальны.
 
 
== Литература ==
 
<references />
 

Текущая версия на 11:15, 17 сентября 2015