Сингулярное разложение (нахождение сингулярных значений и векторов): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
| Строка 7: | Строка 7: | ||
= Методы решения = | = Методы решения = | ||
| + | |||
== Общий метод сведения к спектральному разложению == | == Общий метод сведения к спектральному разложению == | ||
| + | |||
| + | == Метод сведения к двухдиагональной матрице == | ||
| + | Наиболее популярным методом вычисления сингулярных чисел и сингулярного разложения матрицы общего вида является приведение матрицы к двухдиагональному виду с дальнейшим примененеим хорошо разработанных | ||
| + | [[Сингулярное разложение (нахождение сингулярных значений и векторов)#Методы вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц|методов вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц]]. | ||
| + | |||
== Методы вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц == | == Методы вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц == | ||
=== QR-итерация и её варианты=== | === QR-итерация и её варианты=== | ||
| + | ==== Особенности ==== | ||
| + | * Быстрый метод для матриц порядка примерно 25 и меньше | ||
| + | * Высокая точность вычисления сингулярных чисел | ||
| + | |||
=== Метод "Разделяй-и-властвуй"=== | === Метод "Разделяй-и-властвуй"=== | ||
| + | |||
=== Метод бисекции и обратной итерации=== | === Метод бисекции и обратной итерации=== | ||
== Метод Якоби == | == Метод Якоби == | ||
Версия 00:56, 6 ноября 2014
Содержание
1 Общая постановка задачи
Дана произвольная матрица [math]A[/math] размера [math]m \times n[/math], необходимо построить её разложение в виде [math]A=U\cdot S \cdot V^*,[/math] где [math]U[/math] и [math]V[/math] — унитарные матрицы размера [math]m \times m[/math] и [math]n \times n[/math] соответственно, [math]S[/math] — диагональная матрица с вещественными положительными числами на диагонали. Диагональные элементы матрицы [math]S[/math] называются сингулярными числами матрицы [math]A[/math], а столбцы матриц [math]U[/math] и [math]V[/math] левыми и правыми сингулярными векторами соотвтественно.
1.1 Возможные вариации постановки задачи
- Поиск всех сингулярных чисел матрицы без поиска сингулярных векторов.
- Поиск сингулярных чисел матрицы из интервала [math](a,b)[/math].
- Поиск сингулярных чисел матрицы из интервала [math](a,b)[/math] и соответствующих сингулярных векторов.
2 Методы решения
2.1 Общий метод сведения к спектральному разложению
2.2 Метод сведения к двухдиагональной матрице
Наиболее популярным методом вычисления сингулярных чисел и сингулярного разложения матрицы общего вида является приведение матрицы к двухдиагональному виду с дальнейшим примененеим хорошо разработанных методов вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц.
2.3 Методы вычисления спектрального разложения двухдиагональных матриц
2.3.1 QR-итерация и её варианты
2.3.1.1 Особенности
- Быстрый метод для матриц порядка примерно 25 и меньше
- Высокая точность вычисления сингулярных чисел
