Система непересекающихся множеств

Содержание

1 Свойства и структура алгоритмов
2 Программная реализация алгоритмов
3 Литература

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Система непересекающихся множеств^[1] представляет собой структуру данных и сопутствующие алгоритмы для хранения информации об элементах, объединённых в одно или несколько множеств. Алгоритмы позволяют указать, что два элемента находятся в одном и том же множестве, а также узнать, какому множеству принадлежит данный элемент (например, чтобы проверить, принадлежат ли два данных элемента одному и тому же множеству).

Названия на английском языке – Union-Find Data Structure, Disjoint-Set Data Structure, Merge-Find Set.

Систему непересекающихся множеств можно применить при решении следующих задач:

поиск компонент связности графа за время [math]O(m \alpha(m, n)[/math];
восстановление отношения эквивалентности по его части;
поддержание информации о текущих фрагментах графа в алгоритмах построения минимального остовного дерева.

Система непересекающихся множеств может использоваться как онлайн-алгоритм, когда перемежаются запросы на объединение множеств и на определение множества по элементу. По этой причине этому подходу часто отдаётся предпочтение перед асимптотически более быстрым поиск в ширину (который решает ту же задачу о компонентах связности за линейное время [math]O(m)[/math]).

1.2 Математическое описание

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Описание ресурса параллелизма алгоритма

Система непересекающихся множеств допускает эффективную многопоточную реализацию ^[2] в виде неблокирующего алгоритма «без ожидания».

Параллельный алгоритм Шилоаха-Вишкина использует аналогичную структуру данных и находит компоненты связности за время [math]O(\ln n)[/math] на [math]n + 2m[/math] процессорах, однако не может использоваться как онлайн-алгоритм.

1.9 Описание входных и выходных данных

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритмов

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Описание локальности данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности реализации параллельного алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Boost Graph Library (функция incremental_components).
Java: JGraphT (класс UnionFind).

3 Литература

↑ Tarjan, Robert Endre. “Efficiency of a Good but Not Linear Set Union Algorithm.” Journal of the ACM 22, no. 2 (April 1975): 215–25. doi:10.1145/321879.321884.
↑ Anderson, Richard J, and Heather Woll. “Wait-Free Parallel Algorithms for the Union-Find Problem,” 370–80, New York, New York, USA: ACM Press, 1991. doi:10.1145/103418.103458.

[1] Tarjan, Robert Endre. “Efficiency of a Good but Not Linear Set Union Algorithm.” Journal of the ACM 22, no. 2 (April 1975): 215–25. doi:10.1145/321879.321884.

[2] Anderson, Richard J, and Heather Woll. “Wait-Free Parallel Algorithms for the Union-Find Problem,” 370–80, New York, New York, USA: ACM Press, 1991. doi:10.1145/103418.103458.

[1]

[2]