Уравнение Пуассона, решение дискретным преобразованием Фурье: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
| Строка 11: | Строка 11: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | где <math>N</math> - | + | где <math>D \in \mathbb{R}^N</math> - область определения решения <math>\phi(\mathbf{x})</math>, <math>\mathbf{x}=(x_1,...,x_N)^T</math> - вектор независимых переменных. Уравнение Пуассона дополняется граничными условиями: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | где <math>\Gamma(D)</math> - граница области <math>D</math>, a <math>B(\phi)</math> - оператор, определяющий граничные условия. <math>B(\phi)=\phi</math> соответствует граничным условиям Дирихле, <math>B(\phi)=\partial\phi/\partial | + | где <math>\Gamma(D)</math> - граница области <math>D</math>, a <math>B(\phi)</math> - оператор, определяющий граничные условия. <math>B(\phi)=\phi</math> соответствует граничным условиям Дирихле, <math>B(\phi)=\partial\phi/\partial n</math> (<math>\mathbf{n}</math> - внешняя нормаль к границе <math>\Gamma(D)</math>) - условиям Неймана. Иногда задают также смешанное граничное условие: <math>B(\phi)=С\phi+\partial\phi/\partial n</math> (<math>C</math> - константа). Встречаются также так называемые "периодические граничные условия", при которых задача ставится для бесконечной области, но предполагается периодичность решения по подмножеству переменных из <math>\mathbf{x}</math>. |
| − | Аналитическое решение уравнения Пуассона для произвольной правой части и неоднородных граничных условий неизвестно, поэтому | + | Уравнение Пуассона возникает во многих задачах математической физики, например, в электростатике (в этом случае <math>\phi</math> - потенциал электрической силы) и гидродинамике (<math>\phi</math> - давление жидкости или газа); при этом <math>N=2,3</math> для плоской и объемной задач, соответственно. |
| + | |||
| + | Аналитическое решение уравнения Пуассона для произвольной правой части и неоднородных граничных условий неизвестно, поэтому решение в большинстве приложений находится численно. Наиболее распространенная дискретизация уравнения имеет вид | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| Строка 25: | Строка 27: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | Здесь вторые производные заменены центральными разностями второго порядка точности. | + | Здесь вторые производные заменены центральными разностями второго порядка точности, а решение ищется на дискретном множестве точек <math>N</math>-мерного пространства, <math>D_N</math>. Конечными разностями аппроксимируются при этом также граничные условия. |
=== Математическое описание === | === Математическое описание === | ||
Версия 20:31, 3 мая 2015
Основные авторы описания: В.М.Степаненко, Е.В.Мортиков
Содержание
- 1 Описание свойств и структуры алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Описание схемы реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Описание ресурса параллелизма алгоритма
- 1.9 Описание входных и выходных данных
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Описание локальности данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности реализации параллельного алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Описание свойств и структуры алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Уравнение Пуассона для многомерного пространства имеет вид:
\begin{equation} \label{eq:poisson} \sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}=f,~\mathbf{x}\in D, \end{equation}
где [math]D \in \mathbb{R}^N[/math] - область определения решения [math]\phi(\mathbf{x})[/math], [math]\mathbf{x}=(x_1,...,x_N)^T[/math] - вектор независимых переменных. Уравнение Пуассона дополняется граничными условиями:
\begin{equation} B(\phi)=F,~ \text{на}~ \mathbf{x}\in \Gamma(D), \end{equation}
где [math]\Gamma(D)[/math] - граница области [math]D[/math], a [math]B(\phi)[/math] - оператор, определяющий граничные условия. [math]B(\phi)=\phi[/math] соответствует граничным условиям Дирихле, [math]B(\phi)=\partial\phi/\partial n[/math] ([math]\mathbf{n}[/math] - внешняя нормаль к границе [math]\Gamma(D)[/math]) - условиям Неймана. Иногда задают также смешанное граничное условие: [math]B(\phi)=С\phi+\partial\phi/\partial n[/math] ([math]C[/math] - константа). Встречаются также так называемые "периодические граничные условия", при которых задача ставится для бесконечной области, но предполагается периодичность решения по подмножеству переменных из [math]\mathbf{x}[/math].
Уравнение Пуассона возникает во многих задачах математической физики, например, в электростатике (в этом случае [math]\phi[/math] - потенциал электрической силы) и гидродинамике ([math]\phi[/math] - давление жидкости или газа); при этом [math]N=2,3[/math] для плоской и объемной задач, соответственно.
Аналитическое решение уравнения Пуассона для произвольной правой части и неоднородных граничных условий неизвестно, поэтому решение в большинстве приложений находится численно. Наиболее распространенная дискретизация уравнения имеет вид
\begin{equation} \sum_{i=1}^{N}\frac{\phi_{k_1,...,k_i+1,...,k_N}-2\phi_{k_1,...,k_i,...,k_N}+\phi_{k_1,...,k_i-1,...,k_N}}{\Delta x_i^2}=f_{k_1,...,k_N},~(k_1,...,k_N) \in D_N. \end{equation}
Здесь вторые производные заменены центральными разностями второго порядка точности, а решение ищется на дискретном множестве точек [math]N[/math]-мерного пространства, [math]D_N[/math]. Конечными разностями аппроксимируются при этом также граничные условия.
