Участник:Anlesnichiy/Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутты 4 порядка

Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутты 4 порядка
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	?
Объём входных данных	?
Объём выходных данных	?
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	?
Ширина ярусно-параллельной формы	?

Основные авторы описания: А.А. Лесничий (разделы 1.1, 1.2, 1.3), Д.А. Алимов

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Рунге-Кутты четвертого порядка — наиболее распространенный метод из семейства методов Метод Рунге-Кутты численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения.

1.2 Математическое описание алгоритма

1.2.1 Метод Рунге-Кутты для задачи Коши для ДУ первого порядка

Рассмотрим задачу Коши

[math] y' = f(x,y),\ a \leq x \leq b;\ y(a) = y^0 [/math]

Зададим равномерную сетку

[math] x_i = a + ih,\ i = 1,\dots, n,\ h = \frac{b-a}{n} [/math]

Введём обозначения [math]y(x_i) = y_i[/math]. Получим вычислительную формулу:

[math] \begin{cases} k_1 = hf(x_i,y_i)\\ k_2 = hf(x_i + h/2,y_i + k_1/2)\\ k_3 = hf(x_i + h/2,y_i + k_2/2)\\ k_4 = hf(x_i + h,y_i + k_3)\\ y_{i+1} = y_i + 1/6 [ k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 ] \\ \end{cases} [/math]

1.2.2 Метод Рунге-Кутты для задачи Коши для системы ДУ первого порядка

Численное решение задачи Коши для систем ОДУ 1-го порядка методами Рунге-Кутты ищется по тем же формулам, что и для ОДУ первого порядка. Например, решение методом Рунге-Кутты 4 го порядка можно найти, если положить:

[math] \begin{align} y_i \rightarrow \bar y_i\\ f(x_i,y_i) \rightarrow \bar f(x_i,\bar y_i)\\ k_l \rightarrow \bar k_l,\ l = 1, \dots, 4\\ \bar k_l = \begin{pmatrix} k^i_{l,1}\\ \vdots\\ k^i_{l,m}\\ \end{pmatrix} \end{align} [/math]

где m – размерность системы. В результате получим

[math] \begin{cases} \bar k_1 = h\bar f(x_i,\bar y_i)\\ \bar k_2 = h\bar f(x_i + h/2,\bar y_i + \bar k_1/2)\\ \bar k_3 = h\bar f(x_i + h/2,\bar y_i + \bar k_2/2)\\ \bar k_4 = h\bar f(x_i + h,\bar y_i + \bar k_3)\\ \bar y_{i+1} = \bar y_i + [ \bar k_1 + 2\bar k_2 + 2\bar k_3 + \bar k_4 ]/6 \\ \end{cases} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является цикл по i, описанный в пункте 1.2.2.

1.4 Макроструктура алгоритма

Макроструктурой алгоритма является одна итерация цикла по i, описанный в пункте 1.2.2.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Каждый шаг цикла алгоритма состоит из 4 обращений к функции [math] \bar f [/math], 11 умножений и 10 сложений. Так как обращение к функции [math] \bar f [/math] является наиболее сложной операцией, то сложность линейного выполнения алгоритма можно определить как [math] 4mn [/math].

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Поскольку в описанной выше вычислительной схеме наиболее трудоемкой является операция расчета правых частей ОДУ при вычислении [math]k_i ( i = 1, \dots, 4) [/math], то основное внимание следует уделить распараллеливанию этой операции. Здесь будет применяться подход декомпозиции уравнений системы ОДУ на подсистемы. Поэтому для инициализации рассмотрим следующую схему декомпозиции данных по имеющимся процессорным элементам с локальной памятью: на каждый [math]\mu[/math]- ПЭ (процессорный элемент) ([math]\mu = 0, \dots, p-1 [/math]) распределяется [math] m/p [/math] дифференциальных уравнений и вектор [math] \bar y_0 [/math]. Далее расчеты производятся по следующей схеме:

1. на каждом ПЭ одновременно вычисляются [math] n/p [/math] соответствующих компонент вектора [math] \bar k_1 [/math] по формуле [math] [ \bar k_1 ]_{\mu} = h[ \bar f(x_i, \bar y_i) ]_{\mu} [/math]
2. для обеспечения второго расчетного этапа необходимо провести сборку вектора [math] \bar k_1 [/math] целиком на каждом ПЭ. Затем независимо выполняется вычисление компонент вектора [math] \bar k_2 [/math] по формуле [math] [ \bar k_2 ]_{\mu} = h[ \bar f(x_i + h/2,\bar y_i + 1/2 \bar k_1)]_{\mu} [/math];
3. проводится сборка вектора [math] \bar k_2 [/math] на каждом ПЭ, вычисляются компоненты вектора [math] \bar k_3:\ [ \bar k_3 ]_{\mu} = h [\bar f(x_i + h/2,\bar y_i + 1/2 \bar k_2)]_{\mu} [/math];
4. проводится сборка вектора [math] \bar k_3 [/math] на каждом ПЭ, вычисляются компоненты вектора [math] \bar k_4:\ [ \bar k_4 ]_{\mu} = h [\bar f(x_i + h,\bar y_i + \bar k_3)]_{\mu} [/math];
5. рассчитываются с идеальным параллелизмом компоненты вектора [math] \bar y_{i+1}:\ [\bar y_{i+1}]_{\mu} = [\bar y_{i}]_{\mu} + ([ \bar k_1 ]_{\mu} + 2[ \bar k_2 ]_{\mu} + 2[ \bar k_3 ]_{\mu} + [ \bar k_4 ]_{\mu})/6\ [/math] и производится сборка вектора [math] \bar y_{i+1} [/math] на каждом ПЭ. Если необходимо продолжить вычислительный процесс, то полагается [math] i = i + 1 [/math] и осуществляется переход на п. 1

Заметим, что в данном алгоритме производится четыре операции вычисления вектора правых частей ОДУ, шестнадцать операций сложения векторов и умножения вектора на число и четыре операции глобальной сборки векторов.

3 Литература

[1] А. В. Старченко, В. Н. Берцун. Методы параллельных вычислений - Издательство Томского университета, 2013 - 173 с.

<references \>