Участник:Bvdmitri/Адаптивное интегрирование

Основные авторы описания: Д.В.Багаев

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Адаптивное интегрирование — метод быстрого вычисления интеграла функции, который использует адаптивное изменение плотности сетки интегрирования. На промежутках, где функция гладкая, сетка разреженная, на промежутках со значительными колебаниями значений сетка гуще для получения необходимой точности.

1.2 Математическое описание алгоритма

Формулы метода:

1. Интеграл функции вычисляется по квадратурной формуле Симпсона с числом узловых точек равным 4 и 8 на отрезке [math][a, b] [/math].
2. Вычисляется разность найденных значений
   1. Если разность интегралов меньше либо равна желаемой точности интегрирования ε - заканчиваем процедуру.
   2. Если разность больше, то отрезок разбивается на два : [math][a, \tfrac{a + b} {2}][/math] и [math][\tfrac{a + b} {2}, b][/math] и для каждого отрезка повторяется процедура 1, затем возвращается сумма полученных значений.

Алгоритм имеет рекурсивную природу.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основное время работы алгоритма приходится на рекурсивные вызовы, а также на вычисление определенных интегралов методом Симпсона на отрезках, полученных в результате рекурсивного разбиения.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Простейшую рекурсивную реализацию данного алгоритма , которая не использует ресурсы параллелизма можно посмотреть здесь.

#include "SequentialMethod.h"

SequentialMethod::SequentialMethod(double eps, const std::function<double(double)> &f) : IntegrationMethod(eps, f) {}

double SequentialMethod::integrate(double a, double b) {
    double x = simpson(a, b, 4);
    double y = simpson(a, b, 8);
    if (fabs(x - y) < eps) {
        return y;
    } else {
        return integrate(a, (a + b) / 2.0) + integrate((a + b) / 2.0, b);
    }
}

SequentialMethod::~SequentialMethod() {}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Явную формулу сложности последовательного алгоритма выписать не представляется возможным, так как сложность зависит от структуры интегрируемой функции, длины отрезка, а так же необходимой точности.

1.7 Информационный граф

У алгоритма есть несколько возможностей для распараллеливания.
В первом случае можно разбить отрезок на фиксированное число подотрезков, и каждый подотрезок считать на одном процессоре с дальнейшим суммированием результатов с каждого процессора. Внутри процессора используется схема очереди задач. Рекурсия заменяется на операции добавить и достать задачу из общей очереди задач.

Во втором случае можно использовать управляющий узел для распределения задач между вычислительными узлами. В данном случае можно избежать ситуации, когда интегрируемая функция сильно осциллирует лишь на небольшом участке отрезка и большинство процессоров завершают свою работу раньше и ждут остальных.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.9.1 Входные данные

• Функция.
• Отрезок интегрирования [math][a, b][/math].
• Желаемая точность интегрирования [math]\varepsilon[/math].

1.9.2 Выходные данные

• Определенный интеграл функции на отрезке [a, b] с точностью ε.

1.10 Свойства алгоритма

• Алгоритм устроен таким образом, что шаг сетки необходимой для вычисления определенного интеграла с заданной точностью адаптируется под сложность функции.
• Алгоритм является детерминированным и устойчивым

2 Программная реализация алгоритма

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Алгоритм имеет несколько возможных параллельных реализаций.

В первом случае отрезок делиться на одинаковые по длине отрезки. Количество этих отрезков определяется количеством доступных процессоров. Каждый процессор считает определенный интеграл лишь на своем отрезке используя внутри себя очередь задач в общей памяти.

Плюсы данного подхода:

• Простая реализация
• Хорошая масштабируемость на большом классе функций

Минусы данного подхода

• Отсутсвие балансировки нагрузки, может случится ситуация, когда все процессоры, кроме одного завершили свою работу и ждут

---

Во втором случае можно использовать управляющий узел, который будет распределять нагрузку между вычислительными узлами

Плюсы данного подхода:

• Балансировка нагрузки

Минусы данного подхода:

• Более сложная нагрузка
• Хорошая масштабируемость достигается на очень узком классе функций
• Плохая масштабируемость при очень большом количестве вычислительных узлов, управляющий узел перестает успевать распределять задачи из-за чего большое количество вычислительных узлов простаивают