Уровень алгоритма

Участник:Igor.orpanen/Плотностный алгоритм кластеризации (DBSCAN): различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
м
 
(не показано 7 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
Данный документ содержит описание схемы, по которой предлагается описывать свойства и структуру каждого алгоритма. Описание состоит из двух частей. В [[#ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов|первой части]] описываются собственно алгоритмы и их свойства, а [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|вторая]] посвящена описанию особенностей их программной реализации с учетом конкретных программно-аппаратных платформ. Такое деление на части сделано для того, чтобы машинно-независимые свойства алгоритмов, которые определяют качество их реализации на параллельных вычислительных системах, были бы выделены и описаны отдельно от множества вопросов, связанных с последующими этапами программирования алгоритмов и исполнения результирующих программ.
 
  
−
Общая схема описания алгоритмов имеет следующий вид:
+
{{algorithm
 +
| name              = Плотностный алгоритм кластеризации (DBSCAN)
 +
| serial_complexity = <math>O(n \log n)</math>
 +
| pf_height        = <math>O(|S| \log S)</math>
 +
| pf_width          = <math>O(k)</math>
 +
| input_data        = <math>n</math>
 +
| output_data      = <math>n</math>
 +
}}
 +
Автор описания: [[Участник:Igor.orpanen|Орпанен И.С.]]
  
 
= ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов =
 
= ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов =
−
Свойства алгоритмов никак не зависят от вычислительных систем, и с этой точки зрения данная часть AlgoWiki имеет безусловную собственную ценность. Описание алгоритма делается один раз, после чего многократно используется для его реализации в различных программно-аппаратных средах. Несмотря на то, что в данной части мы рассматриваем лишь машинно-независимые свойства алгоритмов, соображения, важные на этапе реализации, или же ссылки на соответствующие пункты [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|части II AlgoWiki]], здесь также вполне уместны.
 
  
 
== Общее описание алгоритма ==
 
== Общее описание алгоритма ==
−
В данном разделе представляется самый первый вариант описания тех задач (или классов задач), для решения которых предназначен алгоритм. В описании поясняются особенности как алгоритма, так и объектов, с которыми он работает. Если описание соответствует целому классу схожих по структуре алгоритмов, либо же посвящено описанию отдельного представителя некоторого класса, то это здесь указывается явно. Описываются базовые математические свойства и структура входных данных. При необходимости, в описании могут присутствовать формулы, а также даваться ссылки на описания других используемых алгоритмов. Данное описание должно быть достаточным для однозначного понимания сути решаемой задачи.
+
Задача кластеризации заключается в разделении исходной выборки данных на непересекающиеся группы, причём объекты из одной группы должны обладать сходством, которое чаще всего характеризуется функцией расстояния между объектами, например, Евклидово расстояние. Основными отличительными особенностями кластеризации являются:
 +
* Отсутствие обучающей выборки, т.е. объектов, принадлежащих предопределённому кластеру
 +
* Неизвестное число кластеров
 +
* Значительная зависимость от выбранной функции расстояния между объектами
  
 +
Плотностный алгоритм кластеризации DBSCAN (Density-based spatial clustering of applications with noise) является алгоритмом кластеризации, позволяющим находить кластеры произвольной формы в метрическом пространстве. Он был предложен учёными Martin Ester, Hans-Peter Kriegel, Jörg Sander и Xiaowei Xu в 1996 году.<ref name="dbscan">Ester M. et al. A density-based algorithm for discovering clusters in large spatial databases with noise //Kdd. – 1996. – Т. 96. – №. 34. – С. 226-231.</ref>
 +
 +
Основной идеей алгоритма DBSCAN является представление объектов кластера в виде группы точек в метрическом пространстве, являющихся вершинами одного связного графа. Причём две точки в таком графе соединеняются ребром только в том случае, если расстояние между ними в заданной метрике не превышает определённого расстояния. Если рядом с некоторым объектом нет достаточно близких соседей, то он признаётся выбросом.
 
== Математическое описание алгоритма ==
 
== Математическое описание алгоритма ==
−
Приводится математическое описание решаемой задачи в виде совокупности формул и соотношений, как это принято в книгах и учебниках. По возможности, используются общепринятые обозначения и способы записи. Должны быть явно определены все использованные обозначения и описаны свойства входных данных. Представленное описание должно быть достаточным для однозначного понимания постановки решаемой задачи для человека, знающего математику.
+
Входные данные: множество объектов <math>X</math>, для которых задана метрическая функция расстояния <math>\rho</math>.
  
−
== Вычислительное ядро алгоритма ==
+
Выходные данные: размеченное множество объектов, где каждому объекту сопоставлен порядковый номер кластера, в который попал данный объект, либо объект отмечается как выброс (шум).
−
В описываемом алгоритме выделяется и описывается [[глоссарий#Вычислительное ядро|''вычислительное ядро'']], т.е. та часть алгоритма, на которую приходится основное время работы алгоритма. Если в алгоритме несколько вычислительных ядер, то отдельно описывается каждое ядро. Описание может быть сделано в достаточно произвольной форме: словесной или с использованием языка математических формул. Вычислительное ядро может полностью совпадать с описываемым алгоритмом.
 
  
−
== Макроструктура алгоритма ==
+
Параметры алгоритма:
−
Если алгоритм использует в качестве составных частей другие алгоритмы, то это указывается в данном разделе. Если в дальнейшем имеет смысл описывать алгоритм не в максимально детализированном виде (т.е. на уровне арифметических операций), а давать только его макроструктуру, то здесь описывается структура и состав макроопераций. Если в других разделах описания данного алгоритма в рамках AlgoWiki используются введенные здесь макрооперации, то здесь даются пояснения, необходимые для однозначной интерпретации материала. Типичные варианты макроопераций, часто встречающиеся на практике: нахождение суммы элементов вектора, скалярное произведение векторов, умножение  матрицы на вектор, решение системы линейных уравнений малого порядка, сортировка, вычисление значения функции в некоторой точке, поиск минимального значения в массиве, транспонирование матрицы, вычисление обратной матрицы и многие другие.
+
* <math>\varepsilon</math> - максимальное расстояние между соседними объектами,
 +
* <math>minPts</math> - минимальное количество соседних объектов, необходимых для образования кластера.
  
−
Описание макроструктуры очень полезно на практике. Параллельная структура алгоритмов может быть хорошо видна именно на макроуровне, в то время как максимально детальное отображение всех операций может сильно усложнить картину. Аналогичные аргументы касаются и многих вопросов реализации, и если для алгоритма эффективнее и/или технологичнее оставаться на макроуровне, оформив макровершину, например, в виде отдельной процедуры, то это и нужно отразить в данном разделе.  
+
=== Определения ===
−
Выбор макроопераций не однозначен, причем, выделяя различные макрооперации, можно делать акценты на различных свойствах алгоритмов. С этой точки зрения, в описании одного алгоритма может быть представлено несколько вариантов его макроструктуры, дающих дополнительную информацию о его структуре. На практике, подобные альтернативные формы представления макроструктуры алгоритма могут оказаться исключительно полезными для его эффективной реализации на различных вычислительных платформах.
+
* Объект <math>p \in X</math> называется ядровым, если в <math>\varepsilon</math>-окрестности точки <math>p</math> находятся <math>MinPts</math> объектов (включая сам объект <math>p</math>). Эти объекты называются напрямую достижимыми из <math>p</math>.
 +
* Объект <math>q \in X</math> называется достижимым из <math>p</math>, если существует путь <math>p_1,...,p_n</math>, где <math>p_1 = p</math> и <math>p_n = q</math>, а каждый объект <math>p_{i+1}</math> напрямую достижим из <math>p_i</math>. Таким образом вся объекты в пути, кроме объекта <math>q</math>, должны быть ядровыми.
 +
* Выбросами (или шумом) называются все объекты, недостижимые ни из одного другого объекта.
 +
* Кластером является множество ядровых точек, достижимых друг из друга, а также граничные неядровые точки, которые достижимы из любой ядровой точки кластера.
  
−
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
+
=== Описание алгоритма ===
−
Здесь описываются все шаги, которые нужно выполнить при последовательной реализации данного алгоритма. В некотором смысле, данный раздел является избыточным, поскольку математическое описание уже содержит всю необходимую информацию. Однако он, несомненно, полезен: схема реализации алгоритма выписывается явно, помогая однозначной интерпретации приводимых далее оценок и свойств.
+
# Выбираем необработанный объект <math>p</math>.
 +
# Отмечаем объект <math>p</math> как обработанный.
 +
# Находим соседние объекты в <math>\varepsilon</math>-окрестности объекта <math>p</math>.
 +
# Сравниваем количество соседних объектов с <math>MinPts</math>, определяя, является ли <math>p</math> ядровым объектом
 +
#* Если объект <math>p</math> является ядровым, то создаём новый кластер и запускаем поиск в ширину из данного объекта по другим непосещённым объектам, находя все объекты кластера.
 +
#* Если объект <math>p</math> не является ядровым, то отмечаем его как выброс (или шум).
 +
# Если присутствуют необработанные объекты, то возвращаемся к шагу 1.
  
−
Описание может быть выполнено в виде блок-схемы, последовательности математических формул, обращений к описанию других алгоритмов, фрагмента кода на Фортране, Си или другом языке программирования, фрагмента кода на псевдокоде и т.п. Главное - это сделать схему реализации последовательного алгоритма полностью понятной. Совершенно не обязательно все шаги детализировать до элементарных операций, отдельные шаги могут соответствовать макрооперациям, отвечающим другим алгоритмам.  
+
== Вычислительное ядро алгоритма ==
 +
Вычислительное ядро алгоритма представляет собой поиск соседних объектов, попадающих в <math>\varepsilon</math>-окрестность каждого объекта из множества <math>X</math>. Для достижения наибольшей производительности используется предварительные расчёты и построение специальных структур данных, позволяющих находить соседние объекты за логарифмическое время.
  
−
Описание схемы реализации вполне может содержать и словесные пояснения, отражающие какие-либо тонкие нюансы самого алгоритма или его реализации. Уже в данном разделе можно сказать про возможный компромисс между объемом требуемой оперативной памяти и временем работы алгоритма, между используемыми структурами данных и степенью доступного параллелизма. В частности, часто возникает ситуация, когда можно ввести дополнительные временные массивы или же отказаться от использования специальных компактных схем хранения данных, увеличивая степень доступного параллелизма.
 
  
−
== Последовательная сложность алгоритма ==
+
== Макроструктура алгоритма ==
−
В данном разделе описания свойств алгоритма приводится оценка его [[глоссарий#Последовательная сложность|''последовательной сложности'']], т.е. числа операций, которые нужно выполнить при последовательном исполнении алгоритма (в соответствии с [[#Описание схемы реализации последовательного алгоритма|п.1.5]]). Для разных алгоритмов понятие операции, в терминах которой оценивается его сложность, может существенно различаться. Это могут быть операции для работы с вещественными числами, целыми числами, поразрядные операции, обращения в память, обновления элементов массива, элементарные функции, макрооперации и другие. В LU-разложении преобладают арифметические операции над вещественными числами, а для транспонирования матриц важны лишь обращения к памяти: это и должно найти отражение в описании.
+
=== Вычисление расстояния между объектами ===
 +
Для вычисления расстояния <math>\rho</math> между двумя объектами из кластеризуемого множества используется метрика. В большинстве случаев вычисляется метрика Евклида: <math>\rho(\mathbf{p}, \mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+\dots+(p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (p_k-q_k)^2}</math>
  
−
Если выбор конкретного типа операций для оценки сложности алгоритма не очевиден, то нужно привести обоснование возможных вариантов. В некоторых случаях можно приводить оценку не всего алгоритма, а лишь его вычислительного ядра: в таком случае это нужно отметить, сославшись [[#Общее описание алгоритма|на п.1.1]].
+
В качестве альтернативного примера можно привести метрику Манхэттена, введённую Германом Минковским:
 +
<math>\rho(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|,</math>
  
−
Например, сложность алгоритма суммирования элементов вектора сдваиванием равна <math>n-1</math>. Сложность быстрого преобразования Фурье (базовый алгоритм Кули-Тьюки) для векторов с длиной, равной степени двойки – <math>n\log_2n</math> операций комплексного сложения и <math>(n\log_2n)/2</math> операций комплексного умножения. Сложность базового алгоритма разложения Холецкого (точечный вариант для плотной симметричной и положительно-определенной матрицы) это <math>n</math> вычислений квадратного корня, <math>n(n-1)/2</math> операций деления, по <math>(n^3-n)/6</math> операций умножения и сложения (вычитания).
+
=== Поиск соседних объектов в <math>\varepsilon</math>-окрестности ===
 +
Для поиска соседних объектов может быть использован простой перебор всех известных объектов, однако последовательная сложность такого алгоритма будет равна <math>O(n^2)</math>. Для ускорения работы алгоритма обычно используются специальные структуры данных, такие как r-tree, k-d tree, ball tree, vantage-point tree и т.д. Эти структуры данных могут быть построены за время <math>O(n \log n)</math>, тем самым снизив общую временную сложность алгоритма.
  
−
== Информационный граф ==
+
== Схема реализации последовательного алгоритма ==
−
Это очень важный раздел описания. Именно здесь можно показать (увидеть) как устроена параллельная структура алгоритма, для чего приводится описание и изображение его информационного графа ([[глоссарий#Граф алгоритма|''графа алгоритма'']] [1]). Для рисунков с изображением графа будут составлены рекомендации по их формированию, чтобы все информационные графы, внесенные в энциклопедию, можно было бы воспринимать и интерпретировать одинаково. Дополнительно можно привести полное параметрическое описание графа в терминах покрывающих функций [1].
+
Схема реализации алгоритма DBScan может быть описана на псевдокоде в терминах оригинальной статьи:<ref name="dbscan" />
 +
DBSCAN(X, Eps, MinPts) {
 +
    C = 0
 +
    for P ∈ X {
 +
      if P is visited
 +
          continue
 +
      mark P as visited
 +
      PNeighbors = regionQuery(P, Eps)
 +
      if len(PNeighbors) < MinPts
 +
          mark P as noise
 +
      else {
 +
          C = next cluster
 +
          expandCluster(P, PNeighbors, C, Eps, MinPts)
 +
      }
 +
    }
 +
}
 +
 +
expandCluster(P, PNeighbors, C, Eps, MinPts) {
 +
    add P to cluster C
 +
    for each point Q ∈ PNeighbors {
 +
      if Q is not visited {
 +
          mark Q as visited
 +
          QNeighbors = regionQuery(Q, Eps)
 +
          if len(QNeighbors) >= MinPts
 +
            PNeighbors = PNeighbors ∪ QNeighbors
 +
      }
 +
      if Q is not in any cluster
 +
          add Q to cluster C
 +
    }
 +
}
 +
 +
  regionQuery(P, Eps)
 +
    return all points within P's Eps-neighborhood (including P)
  
−
Интересных вариантов для отражения информационной структуры алгоритмов много. Для каких-то алгоритмов нужно показать максимально подробную структуру, а иногда важнее макроструктура. Много информации несут разного рода проекции информационного графа, выделяя его регулярные составляющие и одновременно скрывая несущественные детали. Иногда оказывается полезным показать последовательность в изменении графа при изменении значений внешних переменных  (например, размеров матриц): мы часто ожидаем "подобное" изменение информационного графа, но это изменение не всегда очевидно на практике.
+
== Последовательная сложность алгоритма ==
 +
Последовательная сложность алгоритма DBSCAN определяется сложностью его вычислительного ядра, то есть поиска соседних объектов в <math>\varepsilon</math>-окрестности для каждого объекта из исходного множества <math>X</math>. Алгоритм посешает каждый объект из множества <math>X</math> ровно один раз, и это приводит к вызову функции regionQuery. В случае подсчёта расстояний до каждого объекта вызов функции regionQuery имеет последовательную сложность <math>O(n)</math>, а значит общая последовательная сложность равна <math>O(n^2)</math>. В случае использования вспомогательной структуры данных функция regionQuery может иметь сложность <math>O(\log n)</math>, таким образом снизив общую последовательную сложность алгоритма до <math>O(n \log n)</math>.
  
−
В целом, задача изображения графа алгоритма весьма нетривиальна. Начнем с того, что это потенциально бесконечный граф, число вершин и дуг которого определяется значениями внешних переменных, а они могут быть весьма и весьма велики. В такой ситуации, как правило, спасают упомянутые выше соображения подобия, делающие графы для разных значений внешних переменных "похожими": почти всегда достаточно привести лишь один граф небольшого размера, добавив, что графы для остальных значений будут устроены "точно также". На практике, увы, не всегда все так просто, и здесь нужно быть аккуратным.
+
== Информационный граф ==
−
 
+
Параллельные реализации алгоритма DBSCAN всегда используют специальные пространственные структуры данных, такие как k-d tree, r-tree и vantage-point tree. Построение этих структур данных может быть распараллелено путём разделения множества объектов <math>X</math> на части <math>X_i</math>, где <math>i=\overline{1,k}</math>.
−
Далее, граф алгоритма - это потенциально многомерный объект. Наиболее естественная система координат для размещения вершин и дуг информационного графа опирается на структуру вложенности циклов в реализации алгоритма. Если глубина вложенности циклов не превышает трех, то и граф размещается в привычном трехмерном пространстве, однако для более сложных циклических конструкций с глубиной вложенности 4 и больше необходимы специальные методы представления и изображения графов.  
 
  
−
В данном разделе AlgoWiki могут использоваться многие интересные возможности, которые еще подлежат обсуждению: возможность повернуть граф при его отображении на экране компьютера для выбора наиболее удобного угла обзора, разметка вершин по типу соответствующим им операций, отражение [[глоссарий#Ярусно-параллельная форма графа алгоритма|''ярусно-параллельной формы графа'']] и другие. Но в любом случае нужно не забывать главную задачу данного раздела - показать информационную структуру алгоритма так, чтобы стали понятны все его ключевые особенности, особенности параллельной структуры, особенности множеств дуг, участки регулярности и, напротив, участки с недерминированной структурой, зависящей от входных данных.  
+
=== PDBSCAN ===
 +
Первый рассматриваемый параллельный алгоритм PDBSCAN был предложен ещё в 1999 году.<ref name="pdbscan">Xu X., Jäger J., Kriegel H. P. A fast parallel clustering algorithm for large spatial databases //High Performance Data Mining. – Springer US, 1999. – С. 263-290.</ref>. Его основной особенностью является master-slave архитектура. Используются распределённые dR*-деревья, которые позволяют разбить метрическое пространств на области и распределить вычисления между slave-машинами. Затем в каждой из этих областей происходит поиск кластеров, а также определяется необходимость слияния с кластерами из других областей с помощью алгоритма PartDBSCAN. Затем slave-машины отправляют результаты своих вычислений на master-машину, которая сливает необходимые кластеры вместе и завершает выполнение распределённого алгоритма. Информационный граф изображён на рисунке 1.
 +
[[file:PDBSCAN.png|thumb|center|600px|Рис.1. Информационная структура алгоритма PDBSCAN]]
  
−
На рис.1 показана информационная структура алгоритма умножения матриц, на рис.2 - информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей.
+
=== PDSDBSCAN ===
−
 
+
Другой параллельный алгоритм PDSDBSCAN был предложен в 2012 году.<ref name="pdsdbscan">Patwary M. M. A. et al. A new scalable parallel DBSCAN algorithm using the disjoint-set data structure //High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis (SC), 2012 International Conference for. – IEEE, 2012. – С. 1-11.</ref> Его авторы отмечают недостатки master-slave архитектуры и предлагают полностью распределённый алгоритм, основанный на структуре данных из непересекаюшихся множеств, которая позволяет операцию слияния этих множеств. Это позволяет производить слияние кластеров без master-машины и значительно повысить производительность распределённого алгоритма. Информационный граф изображён на рисунке 2.
−
[[file:Fig1.svg|thumb|center|300px|Рис.1. Информационная структура алгоритма умножения матриц]]
+
[[file:PDSDBSCAN.png|thumb|center|600px|Рис.2. Информационная структура алгоритма PDSDBSCAN]]
−
[[file:Fig2.svg|thumb|center|300px|Рис.2. Информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей]]
 
  
 
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
 
== Ресурс параллелизма алгоритма ==
−
Здесь приводится оценка [[глоссарий#Параллельная сложность|''параллельной сложности'']] алгоритма: числа шагов, за которое можно выполнить данный алгоритм в предположении доступности неограниченного числа необходимых процессоров (функциональных устройств, вычислительных узлов, ядер и т.п.). Параллельная сложность алгоритма понимается как высота канонической ярусно-параллельной формы [1]. Необходимо указать, в терминах каких операций дается оценка. Необходимо описать сбалансированность параллельных шагов по числу и типу операций, что определяется шириной ярусов канонической ярусно-параллельной формы и составом операций на ярусах.  
+
Ширина ярусно-параллельной формы обоих алгоритмов PDBSCAN и PDSDBSCAN равна <math>O(k)</math>, где <math>k</math> - это количество частей, на которые разбивается исходный набор объектов.  
 +
Высота ярусно-параллельной платформы у обоих алгоритмов одинакова и равна <math>O(|S| \log S)</math><ref name="pdbscan" /><ref name="pdsdbscan" />, где <math>S=\max_{1 \leq i \leq k} |X_i|</math>.
  
−
Параллелизм в алгоритме часто имеет естественную иерархическую структуру. Этот факт очень полезен на практике, и его необходимо отразить в описании. Как правило, подобная иерархическая структура параллелизма хорошо отражается в последовательной реализации алгоритма через циклический профиль результирующей программы (конечно же, с учетом графа вызовов), поэтому циклический профиль ([[#Описание схемы реализации последовательного алгоритма|п.1.5]]) вполне  может быть использован и для отражения ресурса параллелизма.
+
== Входные и выходные данные алгоритма ==
−
 
+
Входные данные: множество объектов <math>X</math>, для которых задана метрическая функция расстояния <math>\rho</math>. Объём входных данных: <math>n</math>.
−
Для описания ресурса параллелизма алгоритма (ресурса параллелизма информационного графа) необходимо указать ключевые параллельные ветви в терминах [[глоссарий#Конечный параллелизм|''конечного'']] и [[глоссарий#Массовый параллелизм|''массового'']] параллелизма. Далеко не всегда ресурс параллелизма выражается просто, например, через [[глоссарий#Кооодинатный параллелизм|''координатный параллелизм'']] или, что то же самое, через независимость итераций некоторых циклов (да-да-да, циклы - это понятие, возникающее лишь на этапе реализации, но здесь все так связано… В данном случае, координатный параллелизм означает, что информационно независимые вершины лежат на гиперплоскостях, перпендикулярных одной из координатных осей). С этой точки зрения, не менее важен и ресурс [[глоссарий#Скошенный параллелизм|''скошенного параллелизма'']]. В отличие от координатного параллелизма, скошенный параллелизм намного сложнее использовать на практике, но знать о нем необходимо, поскольку иногда других вариантов и не остается: нужно оценить потенциал алгоритма, и лишь после этого, взвесив все альтернативы, принимать решение о конкретной параллельной реализации. Хорошей иллюстрацией может служить алгоритм, структура которого показана на рис.2: координатного параллелизма нет, но есть параллелизм скошенный, использование которого снижает сложность алгоритма с <math>n\times m</math> в последовательном случае до <math>(n+m-1)</math> в параллельном варианте.
 
  
−
Рассмотрим алгоритмы, последовательная сложность которых уже оценивалась в [[#Последовательная сложность алгоритма|п.1.6]]. Параллельная сложность алгоритма суммирования элементов вектора сдваиванием равна <math>\log_2n</math>, причем число операций на каждом ярусе убывает с <math>n/2</math> до <math>1</math>. Параллельная сложность быстрого преобразования Фурье (базовый алгоритм Кули-Тьюки) для векторов с длиной, равной степени двойки - <math>\log_2n</math>. Параллельная сложность базового алгоритма разложения Холецкого (точечный вариант для плотной симметричной и положительно-определенной матрицы) это <math>n</math> шагов для вычислений квадратного корня, <math>(n-1)</math> шагов для операций деления и <math>(n-1)</math> шагов для операций умножения и сложения.
+
Выходные данные: размеченное множество объектов, где каждому объекту сопоставлен порядковый номер кластера, в который попал данный объект, либо объект отмечается как выброс (шум). Объём выходных данных: <math>n</math>.
  
−
== Входные и выходные данные алгоритма ==
+
Количество кластеров и шума в выходных данных зависят от входных данных и параметров алгоритма. Более компактное расположение объектов, меньшие значения параметра <math>MinPts</math>, большие значения параметра <math>\varepsilon</math> ведут к образования меньшего числа кластеров, вплоть до одного единственного кластера. Если варьировать данные параметры в противоположную сторону, то количество кластеров и шумовых объектов будет расти, вплоть до момента, когда все объекты будут являться шумом.
−
В данном разделе необходимо описать объем, структуру, особенности и свойства входных и выходных данных алгоритма: векторы, матрицы, скаляры, множества, плотные или разреженные структуры данных, их объем. Полезны предположения относительно диапазона значений или структуры, например, диагональное преобладание в структуре входных матриц, соотношение между размером матриц по отдельным размерностям, большое число матриц очень малой размерности, близость каких-то значений к машинному нулю, характер разреженности матриц и другие.
 
  
 
== Свойства алгоритма ==
 
== Свойства алгоритма ==
−
Описываются прочие свойства алгоритма, на которые имеет смысл обратить внимание на этапе реализации. Как и ранее, никакой привязки к конкретной программно-аппаратной платформе не предполагается, однако вопросы реализации в проекте AlgoWiki всегда превалируют, и необходимость обсуждения каких-либо свойств алгоритмов определяется именно этим.
+
* Алгоритм находит заранее неизвестное число кластеров произвольной формы.
−
 
+
* Алгоритм работает в условиях зашумлённых данных, выделяя выбросы в отдельную категорию объектов.
−
Весьма полезным является ''соотношение последовательной и параллельной сложности'' алгоритма. Оба понятия мы рассматривали ранее, но здесь делается акцент на том выигрыше, который теоретически может дать параллельная реализация алгоритма. Не менее важно описать и те сложности, которые могут возникнуть в процессе получения параллельной версии алгоритма.
+
* Алгоритм обладает сбалансированностью вычислительного процесса относительно всех типов операций при разбиении входных данных на части примерно одинакового размера.
−
 
+
* Алгоритм не является детерминированным, так как в некоторых случаях граничные точки могут попасть в несколько различных кластеров, что зависит от порядка их формирования. Однако это не оказывает значительного влияния на результаты работы алгоритма. Существует вариация алгоритма DBSCAN*, которая относит все граничные точки к шуму, тем самым достигая полной детерминированности.
−
[[глоссарий#Вычислительная мощность|''Вычислительная мощность'']] алгоритма равна отношению числа операций к суммарному объему входных и выходных данных. Она показывает, сколько операций приходится на единицу переданных данных. Несмотря на простоту данного понятия, это значение исключительно полезно на практике: чем выше  вычислительная мощность, тем меньше накладных расходов вызывает перемещение данных для их обработки, например, на сопроцессоре, ускорителе или другом узле кластера. Например, вычислительная мощность скалярного произведения двух векторов равна всего лишь <math>1</math>, а вычислительная мощность алгоритма умножения двух квадратных матриц равна <math>2n/3</math>.
+
* Качество работы алгоритма сильно зависит от используемой метрики, а также от правильно выбранных параметров <math>MinPts</math> и <math>\varepsilon</math> для заданной предметной области. В частности для объектов в пространстве большой размерности при использовании метрики Евклида имеет место проклятие размерности.
−
 
+
* Алгоритм плохо работает для разнородных данных, состоящих из кластеров разной плотности, так как тогда параметры алгоритмы <math>MinPts</math> и <math>\varepsilon</math> не могут быть выбраны оптимальным образом.
−
Вопрос первостепенной важности на последующем этапе реализации - это [[глоссарий#Устойчивость|''устойчивость'']] алгоритма. Все, что касается различных сторон этого понятия, в частности, оценки устойчивости, должно быть описано в данном разделе.
 
−
 
 
−
''Сбалансированность'' вычислительного процесса можно рассматривать с разных сторон. Здесь и сбалансированность типов операций, в частности, арифметических операций между собой (сложение, умножение, деление) или же арифметических операций по отношению к операциям обращения к памяти (чтение/запись). Здесь и сбалансированность операций между параллельными ветвями алгоритма. С одной стороны, балансировка нагрузки является необходимым условием эффективной реализации алгоритма. Вместе с этим, это очень непростая задача, и в описании должно быть отмечено явно, насколько алгоритм обладает этой особенностью. Если обеспечение сбалансированности не очевидно, желательно описать возможные пути решения этой задачи.
 
−
 
 
−
На практике важна [[глоссарий#Детерминированность|''детерминированность алгоритмов'']], под которой будем понимать постоянство структуры вычислительного процесса. С этой точки зрения, классическое умножение плотных матриц является детерминированным алгоритмом, поскольку его структура при фиксированном размере матриц никак не зависит от элементов входных матриц. Умножение разреженных матриц, когда матрица хранятся в одном из специальных форматов, свойством детерминированности уже не обладает: его свойства, например, степень локальности данных зависит от структуры разреженности входных матриц. Итерационный алгоритм с выходом по точности также не является детерминированным: число итераций, а значит и число операций, меняется в зависимости от входных данных. В этом же ряду стоит использование датчиков случайных чисел, меняющих вычислительный процесс для различных запусков программы. Причина выделения свойства детерминированности понятна: работать с детерминированным алгоритмом проще, поскольку один раз найденная структура и будет определять качество его реализации. Если детерминированность нарушается, то это должно быть здесь описано вместе с описанием того, как недетерминированность влияет на структуру вычислительного процесса.
 
−
 
 
−
Серьезной причиной недетерминированности работы параллельных программ является изменение порядка выполнения ассоциативных операций. Типичный пример - это использование глобальных MPI-операций на множестве параллельных процессов, например, суммирование элементов распределенного массива. Система времени исполнения MPI сама выбирает порядок выполнения операций, предполагая выполнение свойства ассоциативности, из-за чего ошибки округления меняются от запуска программы к запуску, внося изменения в конечный результат ее работы. Это очень серьезная проблема, которая сегодня встречается часто на системах с массовым параллелизмом и определяет отсутствие повторяемости результатов работы параллельных программ. Данная особенность характерна для [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|второй части AlgoWiki]], посвященной реализации алгоритмов, но вопрос очень важный, и соответствующие соображения, по возможности, должны быть отмечены и здесь.
 
−
 
 
−
Заметим, что, в некоторых случаях, недетерминированность в структуре алгоритмов можно "убрать" введением соответствующих макроопераций, после чего структура становится не только детерминированной, но и более понятной для восприятия. Подобное действие также следует отразить в данном разделе.
 
−
 
 
−
[[глоссарий#Степень исхода|''Степень исхода вершины информационного графа'']] показывает, в скольких операциях ее результат будет использоваться в качестве аргумента. Если степень исхода вершины велика, то на этапе реализации алгоритма нужно позаботиться об эффективном доступе к результату ее работы. В этом смысле, особый интерес представляют рассылки данных, когда результат выполнения одной операции используется во многих других вершинах графа, причем число таких вершин растет с увеличением значения внешних переменных.
 
−
 
 
−
''"Длинные" дуги в информационном графе'' [1] говорят о потенциальных сложностях с размещением данных в иерархии памяти компьютера на этапе выполнения программы. С одной стороны, длина дуги зависит от выбора конкретной системы координат, в которой расположены вершины графа, а потому в другой системе координат они попросту могут исчезнуть (но не появится ли одновременно других длинных дуг?). А с другой стороны, вне зависимости от системы координат их присутствие может быть сигналом о необходимости длительного хранения данных на определенном уровне иерархии, что накладывает дополнительные ограничения на эффективность реализации алгоритма. Одной из причин возникновения длинных дуг являются рассылки скалярных величин по всем итерациям какого-либо цикла: в таком виде длинные дуги не вызывают каких-либо серьезных проблем на практике.
 
−
 
 
−
Для проектирования специализированных процессоров или реализации алгоритма на ПЛИС представляют интерес ''компактные укладки информационного графа'' [1], которые также имеет смысл привести в данном разделе.
 
  
 
= ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма =
 
= ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма =
−
Вторая часть описания алгоритмов в рамках AlgoWiki рассматривает все составные части процесса их реализации. Рассматривается как последовательная реализация алгоритма, так и параллельная. Описывается взаимосвязь свойств программ, реализующих алгоритм, и особенностей архитектуры компьютера, на которой они выполняются. Исследуется работа с памятью, локальность данных и вычислений, описывается масштабируемость и эффективность параллельных программ, производительность компьютеров, достигаемая на данной программе. Обсуждаются особенности реализации для разных классов архитектур компьютеров, приводятся ссылки на реализации в существующих библиотеках.
 
  
 
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
 
== Особенности реализации последовательного алгоритма ==
−
Здесь описываются особенности и варианты реализации алгоритма в виде последовательной программы, которые влияют на [[глоссарий#Эффективность реализации|''эффективность ее выполнения'']]. В частности, в данном разделе имеет смысл ''сказать о существовании блочных вариантов реализации алгоритма'', дополнительно описав потенциальные преимущества или недостатки, сопровождающие такую реализацию. Важный вопрос - это ''возможные варианты организации работы с данными'', варианты структур данных, наборов временных массивов и другие подобные вопросы. Для различных вариантов реализации следует оценить доступный ресурс параллелизма и объем требуемой памяти.
 
  
−
Важным нюансом является ''описание необходимой разрядности выполнения операций алгоритма'' (точности). На практике часто нет никакой необходимости выполнять все арифметические операции над вещественными числами с двойной точностью, т.к. это не влияет ни на устойчивость алгоритма, ни на точность получаемого результата. В таком случае, если значительную часть операций можно выполнять над типом float, и лишь в некоторых фрагментах необходим переход к типу double, это обязательно нужно отметить. Это прямое указание не только на правильную реализацию с точки зрения устойчивости по отношению к ошибкам округления, но и на более эффективную.
+
== Локальность данных и вычислений ==
−
 
 
−
Опираясь на информацию из [[#Описание ресурса параллелизма алгоритма|п.1.8]] (описание ресурса параллелизма алгоритма), при описании последовательной версии стоит сказать про возможности [[глоссарий#Эквивалентное преобразование|''эквивалентного преобразования программ'']], реализующих данных алгоритм. В дальнейшем, это даст возможность простого использования доступного параллелизма или же просто покажет, как использовать присущий алгоритму параллелизм на практике. Например, параллелизм на уровне итераций самого внутреннего цикла обычно используется для векторизации. Однако, в некоторых случаях этот параллелизм можно поднять "вверх" по структуре вложенности объемлющих циклов, что делает возможной и эффективную реализацию данного алгоритма на многоядерных SMP-компьютерах.
 
−
 
 
−
С этой же точки зрения, в данном разделе весьма полезны соображения по реализации алгоритма на различных параллельных вычислительных платформах. Высокопроизводительные кластеры, многоядерные узлы, возможности для векторизации или использования ускорителей - особенности этих архитектур не только опираются на разные свойства алгоритмов, но и по-разному должны быть выражены в программах, что также желательно описать в данном разделе.
 
−
 
 
−
== [[Локальность данных и вычислений]] ==
 
−
Вопросы локальности данных и вычислений не часто изучаются на практике, но именно локальность определяет эффективность выполнения программ на современных вычислительных платформах [2, 3]. В данном разделе приводятся оценки степени [[глоссарий#Локальность использования данных|''локальности данных'']] и [[глоссарий#Локальность вычислений|вычислений]] в программе, причем рассматривается как [[глоссарий#Временная локальность|''временна́я'']], так и [[глоссарий#Пространственная локальность|''пространственная'']] локальность. Отмечаются позитивные и негативные факты, связанные с локальностью, какие ситуации и при каких условиях могут возникать. Исследуется, как меняется локальность при переходе от последовательной реализации к параллельной. Выделяются ключевые шаблоны взаимодействия программы, реализующей описываемый алгоритм, с памятью. Отмечается возможная взаимосвязь между используемыми конструкциями языков программирования и степенью локальности, которыми обладают результирующие программы.
 
−
 
 
−
Отдельно приводятся профили взаимодействия с памятью для вычислительных ядер и ключевых фрагментов. Если из-за большого числа обращений по общему профилю сложно понять реальную специфику взаимодействия программ с памятью, то проводится последовательная детализация и приводится серия профилей более мелкого масштаба.
 
−
 
 
−
На рис.3 и рис.4 показаны профили обращения в память для программ, реализующих разложение Холецкого и быстрое преобразование Фурье, по которым хорошо видна разница свойств локальности у данных алгоритмов.
 
−
 
 
−
[[file:Cholesky_locality1.jpg|thumb|center|700px|Рис.3 Реализация метода Холецкого. Общий профиль обращений в память]]
 
−
[[file:fft 1.PNG|thumb|center|700px|Рис.4 Нерекурсивная реализация БПФ для степеней двойки. Общий профиль обращений в память]]
 
  
 
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
 
== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма ==
−
Раздел довольно обширный, в котором должны быть описаны основные факты и положения, формирующие параллельную программу. К их числу можно отнести:
 
−
* представленный иерархически ресурс параллелизма, опирающийся на структуру циклических конструкций и на граф вызовов программы;
 
−
* комбинацию (иерархию) массового параллелизма и параллелизма конечного;
 
−
* возможные способы распределения операций между процессами/нитями;
 
−
* возможные способы распределения данных;
 
−
* оценку количества операций, объёма и числа пересылок данных (как общего числа, так и в пересчёте на каждый параллельный процесс);
 
−
 
−
и другие.
 
−
 
−
В этом же разделе должны быть даны рекомендации или сделаны комментарии относительно реализации алгоритма с помощью различных технологий параллельного программирования: MPI, OpenMP, CUDA или использования директив векторизации.
 
  
 
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
 
== Масштабируемость алгоритма и его реализации ==
−
Задача данного раздела - показать пределы [[глоссарий#Масштабируемость|''масштабируемости'']] алгоритма на различных платформах. Очень важный раздел. Нужно выделить, описать и оценить влияние точек барьерной синхронизации, глобальных операций, операций сборки/разборки данных, привести оценки или провести исследование [[глоссарий#Сильная масштабируемость|''сильной'']] и [[глоссарий#Слабая масштабируемость|''слабой'']] масштабируемости алгоритма и его реализаций.
 
−
 
−
Масштабируемость алгоритма определяет свойства самого алгоритма безотносительно конкретных особенностей используемого компьютера. Она показывает, насколько параллельные свойства алгоритма позволяют использовать возможности растущего числа процессорных элементов. Масштабируемость параллельных программ определяется как относительно конкретного компьютера, так и относительно используемой технологии программирования, и в этом случае она показывает, насколько может вырасти реальная производительность данного компьютера на данной программе, записанной с помощью данной технологии программирования, при использовании бóльших вычислительных ресурсов (ядер, процессоров, вычислительных узлов).
 
−
 
−
Ключевой момент данного раздела заключается в том, чтобы показать ''реальные параметры масштабируемости программы'' для данного алгоритма на различных вычислительных платформах в зависимости от числа процессоров и размера задачи  [4]. При этом важно подобрать такое соотношение между числом процессоров и размером задачи, чтобы отразить все характерные точки в поведении параллельной программы, в частности, достижение максимальной производительности, а также тонкие эффекты, возникающие, например, из-за блочной структуры алгоритма или иерархии памяти.
 
−
 
−
На рис.5. показана масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи. На графике хорошо видны области с большей производительностью, отвечающие уровням кэш-памяти.
 
−
[[file:Масштабируемость перемножения матриц производительность.png|thumb|center|700px|Рис.5 Масштабируемость классического алгоритма умножения плотных матриц в зависимости от числа процессоров и размера задачи]]
 
  
 
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
 
== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма ==
−
Это объемный раздел AlgoWiki, поскольку оценка эффективности реализации алгоритма требует комплексного подхода [5], предполагающего аккуратный анализ всех этапов от архитектуры компьютера до самого алгоритма. Основная задача данного раздела заключается в том, чтобы оценить степень эффективности параллельных программ, реализующих данный алгоритм на различных платформах, в зависимости от числа процессоров и размера задачи. Эффективность в данном разделе понимается широко: это и [[глоссарий#Эффективность распараллеливания|''эффективность распараллеливания'']] программы, это и [[глоссарий#Эффективность реализации|''эффективность реализации'']] программ по отношению к пиковым показателям работы вычислительных систем.
 
−
 
−
Помимо собственно показателей эффективности, нужно описать и все основные причины, из-за которых эффективность работы параллельной программы на конкретной вычислительной платформе не удается сделать выше. Это не самая простая задача, поскольку на данный момент нет общепринятой методики и соответствующего инструментария, с помощью которых подобный анализ можно было бы провести. Требуется оценить и описать эффективность работы с памятью (особенности профиля взаимодействия программы с памятью), эффективность использования заложенного в алгоритм ресурса параллелизма, эффективность использования коммуникационной сети (особенности коммуникационного профиля), эффективность операций ввода/вывода и т.п. Иногда достаточно интегральных характеристик по работе программы, в некоторых случаях полезно показать данные мониторинга нижнего уровня, например, по загрузке процессора, кэш-промахам, интенсивности использования сети Infiniband и т.п. Хорошее представление о работе параллельной MPI-программы дают данные трассировки, полученные, например, с помощью системы Scalasca.
 
  
 
== Выводы для классов архитектур ==
 
== Выводы для классов архитектур ==
−
В данный раздел должны быть включены рекомендации по реализации алгоритма для разных классов архитектур. Если архитектура какого-либо компьютера или платформы обладает специфическими особенностями, влияющими на эффективность реализации, то это здесь нужно отметить.
 
−
 
−
На практике это сделать можно по-разному: либо все свести в один текущий раздел, либо же соответствующие факты сразу включать в предшествующие разделы, где они обсуждаются и необходимы по смыслу. В некоторых случаях, имеет смысл делать отдельные варианты всей [[#ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритмов|части II]] AlgoWiki применительно к отдельным классам архитектур, оставляя общей машинно-независимую [[#ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов|часть I]]. В любом случае, важно указать и позитивные, и негативные факты по отношению к конкретным классам. Можно говорить о возможных вариантах оптимизации или даже о "трюках" в написании программ, ориентированных на целевые классы архитектур.
 
  
 
== Существующие реализации алгоритма ==
 
== Существующие реализации алгоритма ==
−
Для многих пар алгоритм+компьютер уже созданы хорошие реализации, которыми можно и нужно пользоваться на практике. Данный раздел предназначен для того, чтобы дать ссылки на основные существующие последовательные и параллельные реализации алгоритма, доступные для использования уже сейчас. Указывается, является ли реализация коммерческой или свободной, под какой лицензией распространяется, приводится местоположение дистрибутива и имеющихся описаний. Если есть информация об особенностях, достоинствах и/или недостатках различных реализаций, то это также нужно здесь указать. Хорошими примерами реализации многих алгоритмов являются MKL, ScaLAPACK, PETSc, FFTW, ATLAS, Magma и другие подобные библиотеки.
+
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! Реализация
 +
! Технологии
 +
! Лицензия
 +
! Посдедовательная сложность
 +
! Структуры данных
 +
! Метрики
 +
! Параллельность
 +
|-
 +
| [http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.cluster.DBSCAN.html Scikit learn]
 +
| Python
 +
| BSD 3
 +
| <math>O(n \log n)</math>
 +
| k-d tree, ball tree
 +
| Любые
 +
| style="background: #9F9;" | Есть
 +
|-
 +
| [https://github.com/alitouka/spark_dbscan alitouka/spark_dbscan]
 +
| Scala, Spark
 +
| GPLv2
 +
| <math>O(n \log n)</math>
 +
| r-tree
 +
| Euclidean
 +
| style="background: #9F9;" | Есть
 +
|-
 +
| [https://github.com/irvingc/dbscan-on-spark irvingc/dbscan-on-spark]
 +
| Scala, Spark
 +
| GPLv2
 +
| <math>O(n \log n)</math>
 +
| r-tree
 +
| Euclidean
 +
| style="background: #9F9;" | Есть
 +
|-
 +
| [https://github.com/propanoid/DBSCAN propanoid/DBSCAN]
 +
| C++, Boost, OpenMP
 +
| ABRMS
 +
| <math>O(n \log n)</math>
 +
| vantage-point tree
 +
| Euclidean
 +
| style="background: #9F9;" | Есть
 +
|-
 +
| [https://cran.r-project.org/web/packages/dbscan/index.html CRAN]
 +
| R, C++
 +
| GPLv3
 +
| <math>O(n \log n)</math>
 +
| k-d tree
 +
| Euclidean
 +
| style="background: #F99;" | Нет
 +
|-
 +
| [http://weka.sourceforge.net/doc.packages/optics_dbScan/weka/clusterers/DBScan.html Weka]
 +
| Java
 +
| GPLv3
 +
| <math>O(n^2)</math>
 +
| -
 +
| Euclidean, Manhattan
 +
| style="background: #F99;" | Нет
 +
|-
 +
| [https://commons.apache.org/proper/commons-math/javadocs/api-3.1/org/apache/commons/math3/stat/clustering/DBSCANClusterer.html Apache Commons]
 +
| Java
 +
| Apache 2.0
 +
| <math>O(n^2)</math>
 +
| -
 +
| Euclidean
 +
| style="background: #F99;" | Нет
 +
|-
 +
| [https://github.com/choffstein/dbscan choffstein/dbscan]
 +
| Python
 +
| -
 +
| <math>O(n^2)</math>
 +
| -
 +
| Euclidean
 +
| style="background: #F99;" | Нет
 +
|}
  
 
= Литература =
 
= Литература =
−
[1] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.
+
<references />
−
 
 
−
[2] Воеводин В.В., Воеводин Вад.В. Спасительная локальность суперкомпьютеров //Открытые системы. - 2013. - № 9. - С. 12-15.
 
−
 
 
−
[3] Воеводин Вад.В., Швец П. Метод покрытий для оценки локальности использования данных в программах // Вестник УГАТУ. — 2014. — Т. 18, № 1(62). — С. 224–229.
 
−
 
 
−
[4] Антонов А.С., Теплов А.М. О практической сложности понятия масштабируемости параллельных программ// Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (HPC 2014): Материалы XIV Международной конференции -Пермь: Издательство ПНИПУ, 2014. С. 20-27.
 
−
 
 
−
[5] Никитенко Д.А. Комплексный анализ производительности суперкомпьютерных систем, основанный на данных системного мониторинга // Вычислительные методы и программирование. 2014. 15. 85–97.
 
−
 
 
−
[[en:Description of algorithm properties and structure]]
 

Текущая версия на 21:20, 31 марта 2018



Плотностный алгоритм кластеризации (DBSCAN)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]O(n \log n)[/math]
Объём входных данных [math]n[/math]
Объём выходных данных [math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math]O(|S| \log S)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math]O(k)[/math]

Автор описания: Орпанен И.С.

Содержание

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Задача кластеризации заключается в разделении исходной выборки данных на непересекающиеся группы, причём объекты из одной группы должны обладать сходством, которое чаще всего характеризуется функцией расстояния между объектами, например, Евклидово расстояние. Основными отличительными особенностями кластеризации являются:

  • Отсутствие обучающей выборки, т.е. объектов, принадлежащих предопределённому кластеру
  • Неизвестное число кластеров
  • Значительная зависимость от выбранной функции расстояния между объектами

Плотностный алгоритм кластеризации DBSCAN (Density-based spatial clustering of applications with noise) является алгоритмом кластеризации, позволяющим находить кластеры произвольной формы в метрическом пространстве. Он был предложен учёными Martin Ester, Hans-Peter Kriegel, Jörg Sander и Xiaowei Xu в 1996 году.[1]

Основной идеей алгоритма DBSCAN является представление объектов кластера в виде группы точек в метрическом пространстве, являющихся вершинами одного связного графа. Причём две точки в таком графе соединеняются ребром только в том случае, если расстояние между ними в заданной метрике не превышает определённого расстояния. Если рядом с некоторым объектом нет достаточно близких соседей, то он признаётся выбросом.

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные: множество объектов [math]X[/math], для которых задана метрическая функция расстояния [math]\rho[/math].

Выходные данные: размеченное множество объектов, где каждому объекту сопоставлен порядковый номер кластера, в который попал данный объект, либо объект отмечается как выброс (шум).

Параметры алгоритма:

  • [math]\varepsilon[/math] - максимальное расстояние между соседними объектами,
  • [math]minPts[/math] - минимальное количество соседних объектов, необходимых для образования кластера.

1.2.1 Определения

  • Объект [math]p \in X[/math] называется ядровым, если в [math]\varepsilon[/math]-окрестности точки [math]p[/math] находятся [math]MinPts[/math] объектов (включая сам объект [math]p[/math]). Эти объекты называются напрямую достижимыми из [math]p[/math].
  • Объект [math]q \in X[/math] называется достижимым из [math]p[/math], если существует путь [math]p_1,...,p_n[/math], где [math]p_1 = p[/math] и [math]p_n = q[/math], а каждый объект [math]p_{i+1}[/math] напрямую достижим из [math]p_i[/math]. Таким образом вся объекты в пути, кроме объекта [math]q[/math], должны быть ядровыми.
  • Выбросами (или шумом) называются все объекты, недостижимые ни из одного другого объекта.
  • Кластером является множество ядровых точек, достижимых друг из друга, а также граничные неядровые точки, которые достижимы из любой ядровой точки кластера.

1.2.2 Описание алгоритма

  1. Выбираем необработанный объект [math]p[/math].
  2. Отмечаем объект [math]p[/math] как обработанный.
  3. Находим соседние объекты в [math]\varepsilon[/math]-окрестности объекта [math]p[/math].
  4. Сравниваем количество соседних объектов с [math]MinPts[/math], определяя, является ли [math]p[/math] ядровым объектом
    • Если объект [math]p[/math] является ядровым, то создаём новый кластер и запускаем поиск в ширину из данного объекта по другим непосещённым объектам, находя все объекты кластера.
    • Если объект [math]p[/math] не является ядровым, то отмечаем его как выброс (или шум).
  5. Если присутствуют необработанные объекты, то возвращаемся к шагу 1.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро алгоритма представляет собой поиск соседних объектов, попадающих в [math]\varepsilon[/math]-окрестность каждого объекта из множества [math]X[/math]. Для достижения наибольшей производительности используется предварительные расчёты и построение специальных структур данных, позволяющих находить соседние объекты за логарифмическое время.


1.4 Макроструктура алгоритма

1.4.1 Вычисление расстояния между объектами

Для вычисления расстояния [math]\rho[/math] между двумя объектами из кластеризуемого множества используется метрика. В большинстве случаев вычисляется метрика Евклида: [math]\rho(\mathbf{p}, \mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+\dots+(p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (p_k-q_k)^2}[/math]

В качестве альтернативного примера можно привести метрику Манхэттена, введённую Германом Минковским: [math]\rho(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|,[/math]

1.4.2 Поиск соседних объектов в [math]\varepsilon[/math]-окрестности

Для поиска соседних объектов может быть использован простой перебор всех известных объектов, однако последовательная сложность такого алгоритма будет равна [math]O(n^2)[/math]. Для ускорения работы алгоритма обычно используются специальные структуры данных, такие как r-tree, k-d tree, ball tree, vantage-point tree и т.д. Эти структуры данных могут быть построены за время [math]O(n \log n)[/math], тем самым снизив общую временную сложность алгоритма.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Схема реализации алгоритма DBScan может быть описана на псевдокоде в терминах оригинальной статьи:[1] 

DBSCAN(X, Eps, MinPts) {
   C = 0
   for P ∈ X {
      if P is visited
         continue
      mark P as visited
      PNeighbors = regionQuery(P, Eps)
      if len(PNeighbors) < MinPts
         mark P as noise
      else {
         C = next cluster
         expandCluster(P, PNeighbors, C, Eps, MinPts)
      }
   }
}

expandCluster(P, PNeighbors, C, Eps, MinPts) {
   add P to cluster C
   for each point Q ∈ PNeighbors { 
      if Q is not visited {
         mark Q as visited
         QNeighbors = regionQuery(Q, Eps)
         if len(QNeighbors) >= MinPts
            PNeighbors = PNeighbors ∪ QNeighbors
      }
      if Q is not in any cluster
         add Q to cluster C
   }
}

regionQuery(P, Eps)
   return all points within P's Eps-neighborhood (including P)

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма DBSCAN определяется сложностью его вычислительного ядра, то есть поиска соседних объектов в [math]\varepsilon[/math]-окрестности для каждого объекта из исходного множества [math]X[/math]. Алгоритм посешает каждый объект из множества [math]X[/math] ровно один раз, и это приводит к вызову функции regionQuery. В случае подсчёта расстояний до каждого объекта вызов функции regionQuery имеет последовательную сложность [math]O(n)[/math], а значит общая последовательная сложность равна [math]O(n^2)[/math]. В случае использования вспомогательной структуры данных функция regionQuery может иметь сложность [math]O(\log n)[/math], таким образом снизив общую последовательную сложность алгоритма до [math]O(n \log n)[/math].

1.7 Информационный граф

Параллельные реализации алгоритма DBSCAN всегда используют специальные пространственные структуры данных, такие как k-d tree, r-tree и vantage-point tree. Построение этих структур данных может быть распараллелено путём разделения множества объектов [math]X[/math] на части [math]X_i[/math], где [math]i=\overline{1,k}[/math].

1.7.1 PDBSCAN

Первый рассматриваемый параллельный алгоритм PDBSCAN был предложен ещё в 1999 году.[2]. Его основной особенностью является master-slave архитектура. Используются распределённые dR*-деревья, которые позволяют разбить метрическое пространств на области и распределить вычисления между slave-машинами. Затем в каждой из этих областей происходит поиск кластеров, а также определяется необходимость слияния с кластерами из других областей с помощью алгоритма PartDBSCAN. Затем slave-машины отправляют результаты своих вычислений на master-машину, которая сливает необходимые кластеры вместе и завершает выполнение распределённого алгоритма. Информационный граф изображён на рисунке 1.

Рис.1. Информационная структура алгоритма PDBSCAN

1.7.2 PDSDBSCAN

Другой параллельный алгоритм PDSDBSCAN был предложен в 2012 году.[3] Его авторы отмечают недостатки master-slave архитектуры и предлагают полностью распределённый алгоритм, основанный на структуре данных из непересекаюшихся множеств, которая позволяет операцию слияния этих множеств. Это позволяет производить слияние кластеров без master-машины и значительно повысить производительность распределённого алгоритма. Информационный граф изображён на рисунке 2.

Рис.2. Информационная структура алгоритма PDSDBSCAN

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Ширина ярусно-параллельной формы обоих алгоритмов PDBSCAN и PDSDBSCAN равна [math]O(k)[/math], где [math]k[/math] - это количество частей, на которые разбивается исходный набор объектов. Высота ярусно-параллельной платформы у обоих алгоритмов одинакова и равна [math]O(|S| \log S)[/math][2][3], где [math]S=\max_{1 \leq i \leq k} |X_i|[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: множество объектов [math]X[/math], для которых задана метрическая функция расстояния [math]\rho[/math]. Объём входных данных: [math]n[/math].

Выходные данные: размеченное множество объектов, где каждому объекту сопоставлен порядковый номер кластера, в который попал данный объект, либо объект отмечается как выброс (шум). Объём выходных данных: [math]n[/math].

Количество кластеров и шума в выходных данных зависят от входных данных и параметров алгоритма. Более компактное расположение объектов, меньшие значения параметра [math]MinPts[/math], большие значения параметра [math]\varepsilon[/math] ведут к образования меньшего числа кластеров, вплоть до одного единственного кластера. Если варьировать данные параметры в противоположную сторону, то количество кластеров и шумовых объектов будет расти, вплоть до момента, когда все объекты будут являться шумом.

1.10 Свойства алгоритма

  • Алгоритм находит заранее неизвестное число кластеров произвольной формы.
  • Алгоритм работает в условиях зашумлённых данных, выделяя выбросы в отдельную категорию объектов.
  • Алгоритм обладает сбалансированностью вычислительного процесса относительно всех типов операций при разбиении входных данных на части примерно одинакового размера.
  • Алгоритм не является детерминированным, так как в некоторых случаях граничные точки могут попасть в несколько различных кластеров, что зависит от порядка их формирования. Однако это не оказывает значительного влияния на результаты работы алгоритма. Существует вариация алгоритма DBSCAN*, которая относит все граничные точки к шуму, тем самым достигая полной детерминированности.
  • Качество работы алгоритма сильно зависит от используемой метрики, а также от правильно выбранных параметров [math]MinPts[/math] и [math]\varepsilon[/math] для заданной предметной области. В частности для объектов в пространстве большой размерности при использовании метрики Евклида имеет место проклятие размерности.
  • Алгоритм плохо работает для разнородных данных, состоящих из кластеров разной плотности, так как тогда параметры алгоритмы [math]MinPts[/math] и [math]\varepsilon[/math] не могут быть выбраны оптимальным образом.

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

Реализация Технологии Лицензия Посдедовательная сложность Структуры данных Метрики Параллельность
Scikit learn Python BSD 3 [math]O(n \log n)[/math] k-d tree, ball tree Любые Есть
alitouka/spark_dbscan Scala, Spark GPLv2 [math]O(n \log n)[/math] r-tree Euclidean Есть
irvingc/dbscan-on-spark Scala, Spark GPLv2 [math]O(n \log n)[/math] r-tree Euclidean Есть
propanoid/DBSCAN C++, Boost, OpenMP ABRMS [math]O(n \log n)[/math] vantage-point tree Euclidean Есть
CRAN R, C++ GPLv3 [math]O(n \log n)[/math] k-d tree Euclidean Нет
Weka Java GPLv3 [math]O(n^2)[/math] - Euclidean, Manhattan Нет
Apache Commons Java Apache 2.0 [math]O(n^2)[/math] - Euclidean Нет
choffstein/dbscan Python - [math]O(n^2)[/math] - Euclidean Нет

3 Литература

  1. ↑ 1,0 1,1 Ester M. et al. A density-based algorithm for discovering clusters in large spatial databases with noise //Kdd. – 1996. – Т. 96. – №. 34. – С. 226-231.
  2. ↑ 2,0 2,1 Xu X., Jäger J., Kriegel H. P. A fast parallel clustering algorithm for large spatial databases //High Performance Data Mining. – Springer US, 1999. – С. 263-290.
  3. ↑ 3,0 3,1 Patwary M. M. A. et al. A new scalable parallel DBSCAN algorithm using the disjoint-set data structure //High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis (SC), 2012 International Conference for. – IEEE, 2012. – С. 1-11.
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Участник:Igor.orpanen/Плотностный_алгоритм_кластеризации_(DBSCAN)&oldid=25566