Уровень алгоритма

Участник:Lexaloris/Умножение разреженной матрицы на вектор: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 19: Строка 19:
 
Одной из наиболее ши­роко используемых схем хранения разреженных матриц является разреженный строчный формат. Эта
 
Одной из наиболее ши­роко используемых схем хранения разреженных матриц является разреженный строчный формат. Эта
 
схема предъявляет минимальные требования к памяти и в то же время оказывается очень удобной для умножения разреженной матрицы на вектор.
 
схема предъявляет минимальные требования к памяти и в то же время оказывается очень удобной для умножения разреженной матрицы на вектор.
Значения нену­левых элементов матрицы и соответствующие столбцовые индексы хранятся в этой схеме по строкам в двух массивах; назовем их соответственно AN и JA. Используется также массив указателей IA, отмечающих позиции массивов AN и JA, с которых начинается описание очередной строки. Дополнительная компо­нента в IA содержит указатель первой свободной позиции в JA и AN. Например, Рассмотрим матрицу:
+
Например, рассмотрим формат хранения разряженной матрицы <math>A</math>:
  
[[file:RRCOMatrix.png]]
+
[[File:RRCOMatrix.png]]
  
 +
Значения нену­левых элементов матрицы и соответствующие столбцовые индексы хранятся в этой схеме по строкам в двух массивах; назовем их соответственно <math>AN</math> и <math>JA</math>. Используется также массив указателей <math>IA</math>, отмечающих позиции массивов <math>AN</math> и <math>JA</math>, с которых начинается описание очередной строки. Дополнительная компо­нента в <math>IA</math> содержит указатель первой свободной позиции в <math>JA</math> и <math>AN</math>.
 +
 +
Таким образом <math>A</math> представляется в виде:
 +
 
 +
IA = 1 4 4 6
 +
JA = 3 4 8 6 8
 +
AN = 1 3 5 7 1
 +
 +
Данный способ представления называют полным, поскольку представлена вся матрица А, и упорядоченным, поскольку эле­менты каждой строки хранятся в соответствии с возрастанием столбцовых индексов. Таким образом, это строчное представление, полное и упорядоченное, или сокращенно RR (С) О.
  
 
Пусть <math>N</math> — число строк матрицы.  
 
Пусть <math>N</math> — число строк матрицы.  

Версия 16:19, 15 октября 2016


Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность [math]O(k)[/math]
Объём входных данных [math]k + m[/math]
Объём выходных данных [math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы [math]O(m)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы [math]O(n)[/math]


Авторы страницы: A.Д. Новоселов и П.А. Кочетков

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

1.1.1 Хранение ненулевых элементов разреженной матрицы

Одной из наиболее ши­роко используемых схем хранения разреженных матриц является разреженный строчный формат. Эта схема предъявляет минимальные требования к памяти и в то же время оказывается очень удобной для умножения разреженной матрицы на вектор. Например, рассмотрим формат хранения разряженной матрицы [math]A[/math]:

RRCOMatrix.png

Значения нену­левых элементов матрицы и соответствующие столбцовые индексы хранятся в этой схеме по строкам в двух массивах; назовем их соответственно [math]AN[/math] и [math]JA[/math]. Используется также массив указателей [math]IA[/math], отмечающих позиции массивов [math]AN[/math] и [math]JA[/math], с которых начинается описание очередной строки. Дополнительная компо­нента в [math]IA[/math] содержит указатель первой свободной позиции в [math]JA[/math] и [math]AN[/math].

Таким образом [math]A[/math] представляется в виде:

IA = 1 4 4 6 JA = 3 4 8 6 8 AN = 1 3 5 7 1

Данный способ представления называют полным, поскольку представлена вся матрица А, и упорядоченным, поскольку эле­менты каждой строки хранятся в соответствии с возрастанием столбцовых индексов. Таким образом, это строчное представление, полное и упорядоченное, или сокращенно RR (С) О.

Пусть [math]N[/math] — число строк матрицы. Для каждой ее строки [math]I[/math] матрийы мы находим с помощью [math]IA[/math] значения первой [math]IAA[/math] и последней [math]IAB[/math] позиций, занимаемых элементами строки [math]I[/math] в массивах [math]JA[/math] и [math]AN[/math]. Затем, чтобы вычислить скалярное произведение строки [math]I[/math] и вектора [math]B[/math], мы просто просматриваем [math]JA[/math] и [math]AN[/math] на отрезке от [math]IAA[/math] до [math]IAB[/math]: каждое значение, хранимое в [math]JA[/math], есть столбцовый индекс и используется для извлечения из массива [math]B[/math] элемента, который должен быть умножен на соответствующее число из [math]AN[/math]. Результат каж­дого умножения прибавляется к [math]C(I)[/math].

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

[math]IA, JA, AN[/math] - заданная матрица в форме RR (С) U;

[math]B[/math] - заданный заполненный вектор;

[math]N[/math] - число строк матрицы.

Выход: [math]C[/math] вектор-произведение размерности [math]N[/math].

Формулы метода:

[math] \begin{align} & IAA_{i} = IA(i), \quad i \in [1, N], \\ & IAB_{i} = IA(i + 1) - 1, \quad i \in [1, N], \\ & c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)), \quad i \in [1, N] \\ \end{align} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром, т.е. той частью алгоритма, на которую приходится основное время его работы, является вычисление значения [math]i[/math]-го элемента [math]c_{i}[/math] вектора-произведения, т.е произведения строки [math]I[/math] матрицы [math]A[/math] и вектора [math]B[/math] по формуле:

[math] \begin{align} & c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)), \quad i \in [1, N] \\ \end{align} [/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая:

Далее для всех [math]i[/math] от [math]1[/math] до [math]N[/math] по нарастанию выполняются:

1. [math] c_{i} = 0; IAA = IA(i); IAB = IA(i + 1 ) - 1 [/math]

После этого, если [math](IAB \lt = IAA)[/math]:

2. Для всех [math]j[/math] от [math]IAA[/math] до [math]IAB[/math] выполняется:

[math]c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j))[/math]

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для всего алгоритма потребуется выполнить [math]O(M)[/math] операций, где [math]M[/math] - число ненулевых эле­ментов матрицы.

1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Информационный граф алгоритма.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

Алгоритм в рамках выбранной версии полностью детерминирован.

Вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – константа.

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.2 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

[1] С. Писсанецки. Технология разреженных матриц. Изд. Мир, 1988.