Участник:NataliaPolienko/Блочное умножение матриц по методу Кеннона

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Одной из основных операций над матрицами является их перемножение. Данная операция широко применяется в большом количестве разных методов. Здесь мы рассмотрим умножение [math]C = AB[/math]  квадратных матриц с помощью алгоритма Кеннона. Его суть заключается в том, что матрицы разбиваются на блоки, представляющие собой подматрицы исходных матриц. В следствии чего в качестве базовой подзадачи можно выбрать вычисления, связанные с определением одного из блоков результирующей матрицы [math]C[/math] [1].

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: матрица [math]A[/math] размера [math]n \times n[/math], матрица [math]B[/math] размера [math]n \times n[/math].

Вычисляемые данные: матрица [math]C[/math] размера [math]n \times n[/math].

Исходные и результирующая матрицы представляются в виде наборов блоков. Операцию матричного умножения матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] в блочном виде можно представить следующим образом [2]: [math] \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{k1} & A_{k2} & \cdots & A_{kk} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1k} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{k1} & B_{k2} & \cdots & B_{kk} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1k} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{k1} & C_{k2} & \cdots & C_{kk} \end{bmatrix}, [/math]


где каждый блок [math]C_{ij}[/math] матрицы [math]C[/math] определяется в соответствии с выражением:

[math] \begin{align} C_{ij} = \sum_{l = 1}^{k} A_{il} B_{lj}, \quad i \in [1, k], \quad j \in [1, k]. \end{align} [/math]

Полученные блоки [math]C_{ij}[/math] являются независимыми.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро перемножения матриц(квадратных) методом Кеннона можно составить из множественных вычислений умножения блоков матрицы [math]A[/math] на блоки матрицы [math]B[/math]:

[math]\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj}[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.2 Существующие реализации алгоритма

3 Литература