Участник:Nikita/Построение матрицы Адамара: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Nikita (обсуждение | вклад) |
|||
| Строка 42: | Строка 42: | ||
* Число <math>p=n-1</math>; | * Число <math>p=n-1</math>; | ||
| − | * Вектор вычетов <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация | + | * Вектор квадратичных вычетов (по модулю <math>p</math>) <math>R</math> (элементы <math>r_i</math>) размера <math>2p</math>. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые <math>p</math> элементов (<math>i=p,1,...,2p-1</math>) являются копией первых <math>p</math> элементов (<math>r_i=r_{i-p}</math>), которые, в свою очередь, определяются следующим образом: |
| − | ** | + | ** <math>r_i=1</math>, если <math>i \in \{1^2</math> <math>mod</math> <math>p, 2^2</math> <math>mod</math> <math>p, ... , (\frac{p-1}{2})^2</math> <math> mod</math> <math> p\}</math>, <math>i=0,1,...,p-1</math>, то есть если <math>i</math> является квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>; |
| + | ** <math>r_i=-1</math>, иначе. | ||
Вычисляемые данные: | Вычисляемые данные: | ||
| − | * Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. | + | * Матрица Адамара <math>H</math> (элементы <math>h_{ij}</math>) размера <math>n \times n</math>. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом: |
| + | ** <math>h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;</math> | ||
| + | ** <math>h_{i1}=1, i=0,1, ... ,n-1;</math> | ||
| + | ** <math>h_{ij}=r_{j-i+p}, i=0,1, ... ,n-1, j=0,1, ... ,n-1.</math> | ||
| + | |||
Версия 15:35, 14 октября 2016
| Построение матрицы Адамара | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]O(n^2)[/math] |
| Объём входных данных | [math]1[/math] |
| Объём выходных данных | [math]n^2[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]O(1)[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]O(n^2)[/math] |
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Матрицы Адамара были введены в математический обиход в конце прошлого века и играют важную роль в алгебре и комбинаторике. Сравнительно недавно (в 1960 г.) было замечено, что эти матрицы могут быть использованы для построения кодов с большим кодовым расстоянием.
Матрицей Адамара порядка n называется [math]n*n[/math] матрица [math]H[/math], элементами которой являются +1 и −1 такая, что [math]H H^T = n E_n[/math], где [math]E_n[/math] - единичная матрица размера n.
Матрица Адамара обладает следующими свойствами:
- Различные строки матрицы ортогональны
- Скалярное произведение любой строки саму на себя равно n
- Умножение любой строки или столбца на -1 переводит H в другую матрицу Адамара
Если все элементы первой строки и первого столбца равны +1, то матрица Адамара называется нормализованной.
Для матриц Адамара справедливо следующее утверждение: если существует матрица Адамара порядка n, то n равно 1 или 2 или делится на 4.
Примеры матриц (1,2,4,8)
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные - это порядок генерируемой матрицы Адамара [math]n[/math], удовлетворяющее следующим свойствам:
- [math]n\gt 0[/math];
- [math]n[/math] делится на 4;
- [math]n-1[/math] - простое число.
Вспомогательные данные:
- Число [math]p=n-1[/math];
- Вектор квадратичных вычетов (по модулю [math]p[/math]) [math]R[/math] (элементы [math]r_i[/math]) размера [math]2p[/math]. В этом векторе индексация идёт с нуля, вторые [math]p[/math] элементов ([math]i=p,1,...,2p-1[/math]) являются копией первых [math]p[/math] элементов ([math]r_i=r_{i-p}[/math]), которые, в свою очередь, определяются следующим образом:
- [math]r_i=1[/math], если [math]i \in \{1^2[/math] [math]mod[/math] [math]p, 2^2[/math] [math]mod[/math] [math]p, ... , (\frac{p-1}{2})^2[/math] [math] mod[/math] [math] p\}[/math], [math]i=0,1,...,p-1[/math], то есть если [math]i[/math] является квадратичным вычетом по модулю [math]p[/math];
- [math]r_i=-1[/math], иначе.
Вычисляемые данные:
- Матрица Адамара [math]H[/math] (элементы [math]h_{ij}[/math]) размера [math]n \times n[/math]. Индексация строчек и столбцов идёт с нуля. Элементы находятся следующим образом:
- [math]h_{1j}=1, j=0,1, ... ,n-1;[/math]
- [math]h_{i1}=1, i=0,1, ... ,n-1;[/math]
- [math]h_{ij}=r_{j-i+p}, i=0,1, ... ,n-1, j=0,1, ... ,n-1.[/math]
