Участник:Odbaev/Нахождение собственных чисел квадратной матрицы методом QR разложения (2)

Основные авторы описания: О.Д.Баев, А.С.Шевелев

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

QR-алгоритм — это численный метод в линейной алгебре, предназначенный для решения полной проблемы собственных значений, то есть отыскания всех собственных чисел и собственных векторов матрицы. Был разработан в конце 1950-х годов независимо В.Н. Кублановской и Дж. Фрэнсисом.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть A — вещественная матрица, для которой мы хотим найти собственные числа и векторы. Положим A₀=A. На k-ом шаге (начиная с k = 0) вычислим QR-разложение A_k=Q_kR_k, где Q_k — ортогональная матрица (то есть Q_k^T = Q_k⁻¹), а R_k — верхняя треугольная матрица. Затем мы определяем A_k+1 = R_kQ_k.

Заметим, что

[math] A_{k+1} = R_k Q_k = Q_k^{-1} Q_k R_k Q_k = Q_k^{-1} A_k Q_k = Q_k^{T} A_k Q_k, [/math]

то есть все матрицы A_k являются подобными, то есть их собственные значения равны.

Пусть все диагональные миноры матрицы A не вырождены. Тогда последовательность матриц A_k при k→∞ сходится по форме к клеточному правому треугольному виду, соответствующему клеткам с одинаковыми по модулю собственными значениями.

Для того, чтобы получить собственные векторы матрицы, нужно перемножить все матрицы Q_k.

3 Литература

QR-алгоритм