Участница:Ekaterina.ivkina/Метод Якоби вычисления сингулярных чисел и векторов: различия между версиями

Версия 01:14, 16 октября 2016

Метод Якоби вычисления сингулярных чисел и векторов
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math][/math]
Объём входных данных	[math][/math]
Объём выходных данных	[math][/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math][/math]

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Сингулярное разложение было первоначально разработано в дифференциальной геометрии при изучении свойств билинейных форм учеными Эудженио Бельтрами и Камилем Жорданом независимо в 1873 и 1874 годах соответственно. Первое доказательство сингулярного разложения для прямоугольных и комплексных матриц было осуществлено математиками Карлом Эскартом и Гэйлом Янгом в 1936 году.

Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное разложение показывает геометрическую структуру матрицы и позволяет наглядно представить имеющиеся данные. Сингулярное разложение используется при решении самых разных задач — от приближения методом наименьших квадратов и решения систем уравнений до сжатия и распознавания изображений. Используются разные свойства сингулярного разложения, например, способность показывать ранг матрицы и приближать матрицы данного ранга. Так как вычисления ранга матрицы — задача, которая встречается очень часто, то сингулярное разложение является довольно популярным методом.

Сингулярным разложением матрицы [math]G (n \times n)[/math] называется разложение вида [math]G = U \Sigma V^T[/math] , где [math]U, V[/math] - унитарные матрицы [math]n \times n[/math], а [math]\Sigma[/math] - диагональная матрица [math]n \times n[/math] с вещественными положительными числами на главной диагонали. Столбцы матриц [math]U, V[/math] называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения на диагонали матрицы [math]\Sigma[/math] - сингулярными значениями матрицы [math]G[/math].

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

@@ Строка 13: / Строка 13: @@
 === Общее описание алгоритма ===
+Сингулярное разложение было первоначально разработано в дифференциальной геометрии при изучении свойств билинейных форм учеными Эудженио Бельтрами и Камилем Жорданом независимо в 1873 и 1874 годах соответственно. Первое доказательство сингулярного разложения для прямоугольных и комплексных матриц было осуществлено математиками Карлом Эскартом и Гэйлом Янгом в 1936 году.
+Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное разложение показывает геометрическую структуру матрицы и позволяет наглядно представить имеющиеся данные. Сингулярное разложение используется при решении самых разных задач — от приближения методом наименьших квадратов и решения систем уравнений до сжатия и распознавания изображений. Используются разные свойства сингулярного разложения, например, способность показывать ранг матрицы и приближать матрицы данного ранга. Так как вычисления ранга матрицы — задача, которая встречается очень часто, то сингулярное разложение является довольно популярным методом.
+'''Сингулярным''' разложением матрицы <math>G (n \times n)</math> называется разложение вида <math>G = U \Sigma V^T</math> , где <math>U, V</math> - унитарные матрицы <math>n \times n</math>, а <math>\Sigma</math> - диагональная матрица <math>n \times n</math> с вещественными положительными числами на главной диагонали. Столбцы матриц <math>U, V</math> называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения на диагонали матрицы <math>\Sigma</math> - сингулярными значениями матрицы <math>G</math>.
 === Математическое описание алгоритма ===