Участница:Ekaterina.ivkina/Метод Якоби вычисления сингулярных чисел и векторов: различия между версиями
м |
|||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное разложение показывает геометрическую структуру матрицы и позволяет наглядно представить имеющиеся данные. Сингулярное разложение используется при решении самых разных задач — от приближения методом наименьших квадратов и решения систем уравнений до сжатия и распознавания изображений. Используются разные свойства сингулярного разложения, например, способность показывать ранг матрицы и приближать матрицы данного ранга. Так как вычисления ранга матрицы — задача, которая встречается очень часто, то сингулярное разложение является довольно популярным методом. | Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное разложение показывает геометрическую структуру матрицы и позволяет наглядно представить имеющиеся данные. Сингулярное разложение используется при решении самых разных задач — от приближения методом наименьших квадратов и решения систем уравнений до сжатия и распознавания изображений. Используются разные свойства сингулярного разложения, например, способность показывать ранг матрицы и приближать матрицы данного ранга. Так как вычисления ранга матрицы — задача, которая встречается очень часто, то сингулярное разложение является довольно популярным методом. | ||
| − | '''Сингулярным''' разложением матрицы <math>G (n \times n)</math> называется разложение вида <math>G = U \Sigma V^T</math> , где <math>U, V</math> - унитарные матрицы <math>n \times n</math>, | + | '''Сингулярным''' разложением матрицы <math>G (n \times n)</math> называется разложение вида <math>G = U \Sigma V^T</math> , где <math>U, V</math> - унитарные матрицы <math>n \times n</math>, <math>\Sigma</math> - диагональная матрица <math>n \times n</math> с вещественными положительными числами на главной диагонали. Столбцы матриц <math>U, V</math> называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения на диагонали матрицы <math>\Sigma</math> - сингулярными значениями матрицы <math>G</math>. |
| + | |||
| + | Одним из методов нахождения сингулярного разложения матрицы является '''метод Якоби'''. Метод Якоби был предложен Карлом Густавом Якоби Якоби в 1846 году и представляет собой итерационный алгоритм вычисления собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы. Для вычисления собственных значений необходимо неявно применить метод Якоби к симметричной матрице <math>A = G^T G</math>. На каждом шаге вычисляется вращение Якоби <math>J</math>, с помощью которого матрица <math>G^TG</math> неявно пересчитывется в <math>J^TG^TGJ</math>; вращение выбрано так, чтобы пара внедиагональных элементов из <math>G^TG</math> обратилась в нули в матрице <math>J^TG^TGJ</math>. При этом ни <math>G^TG</math>, ни <math>J^TG^TGJ</math> не вычисляются в явном виде; вместо них вычисляется матрица <math>GJ</math>. Поэтому алгоритм называется ''методом односторонних вращений''. | ||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Версия 01:50, 16 октября 2016
| Метод Якоби вычисления сингулярных чисел и векторов | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math][/math] |
| Объём входных данных | [math][/math] |
| Объём выходных данных | [math][/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math][/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math][/math] |
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Сингулярное разложение было первоначально разработано в дифференциальной геометрии при изучении свойств билинейных форм учеными Эудженио Бельтрами и Камилем Жорданом независимо в 1873 и 1874 годах соответственно. Первое доказательство сингулярного разложения для прямоугольных и комплексных матриц было осуществлено математиками Карлом Эскартом и Гэйлом Янгом в 1936 году.
Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное разложение показывает геометрическую структуру матрицы и позволяет наглядно представить имеющиеся данные. Сингулярное разложение используется при решении самых разных задач — от приближения методом наименьших квадратов и решения систем уравнений до сжатия и распознавания изображений. Используются разные свойства сингулярного разложения, например, способность показывать ранг матрицы и приближать матрицы данного ранга. Так как вычисления ранга матрицы — задача, которая встречается очень часто, то сингулярное разложение является довольно популярным методом.
Сингулярным разложением матрицы [math]G (n \times n)[/math] называется разложение вида [math]G = U \Sigma V^T[/math] , где [math]U, V[/math] - унитарные матрицы [math]n \times n[/math], [math]\Sigma[/math] - диагональная матрица [math]n \times n[/math] с вещественными положительными числами на главной диагонали. Столбцы матриц [math]U, V[/math] называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения на диагонали матрицы [math]\Sigma[/math] - сингулярными значениями матрицы [math]G[/math].
Одним из методов нахождения сингулярного разложения матрицы является метод Якоби. Метод Якоби был предложен Карлом Густавом Якоби Якоби в 1846 году и представляет собой итерационный алгоритм вычисления собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы. Для вычисления собственных значений необходимо неявно применить метод Якоби к симметричной матрице [math]A = G^T G[/math]. На каждом шаге вычисляется вращение Якоби [math]J[/math], с помощью которого матрица [math]G^TG[/math] неявно пересчитывется в [math]J^TG^TGJ[/math]; вращение выбрано так, чтобы пара внедиагональных элементов из [math]G^TG[/math] обратилась в нули в матрице [math]J^TG^TGJ[/math]. При этом ни [math]G^TG[/math], ни [math]J^TG^TGJ[/math] не вычисляются в явном виде; вместо них вычисляется матрица [math]GJ[/math]. Поэтому алгоритм называется методом односторонних вращений.
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные:
