Алгоритм бидиагонализации матрицы методом отражений

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Матрица $B = [b_{ij}]$ называется (верхней) двухдиагональной, или бидиагональной, если $b_{ij} = 0$, $i \gt j$ или $i + 1 \lt j$. Алгоритм бидиагонализации матрицы методом отражений приводит произвольную $n \times n$ матрицу A к бидиагональному виду $B = PAQ$, где $P$ и $Q$ - произведения конечного числа матриц отражения(или вращения).

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть дана матрица A размера $n \times n$. Сначала мы умножаем A слева на матрицу отражения, аннулирующую все поддиагональные элементы вервого столбца. Затем умножаем результат справа на матрицу отражения, аннулирующую элементы первой строки в позициях с 3-й по n-ю. Далее умножением слева аннулируем все поддиагональные элементы второго столбца, затем умножением справа аннулируем получаем нули во второй строке в позициях с 4-й по n-ю и т.д. После каждого умножения на матрицу отражения все ранее полученные нули остаются.

2 Литература

Е. Е. Тыртышников, "Методы численного анализа".