Метод Хаусхолдера (отражений) QR-разложения хессенберговой матрицы (вещественный вариант)

Метод Хаусхолдера (в советской математической литературе чаще называется методом отражений) используется для разложения матриц в виде $A=QR$ ($Q$ - унитарная, $R$ — правая треугольная матрица). При этом матрица $Q$ хранится и используется не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения.

Матрица отражений (Хаусхолдера) - матрица вида $U=E-2ww^*$, где $w$ - вектор, удовлетворяющий равенству $w^{*}w=1$. Является одновременно унитарной ($U^{*}U=E$) и эрмитовой ($U^{*}=U$), поэтому обратна самой себе ($U^{-1}=U$).

Поскольку для QR-разложения хессенберговой матрицы нужно "обнулить" только элементы одной диагонали, то, в отличие от стандартной реализации метода Хаусхолдера для плотной квадратной матрицы, для него нужно выполнять операции отражения с базой на приведении двумерных векторов к одному из ортов, то есть этот алгоритм квадратичен по порядку выполняемых операций. Критический путь этого алгоритма, как и в случае метода Гивенса, от которого метод Хаусхолдера отличается только коэффициентами в матрицах, линеен.

Алгоритм, однако, в своём чистом виде практически не используется. Дело в том, что в QR-алгоритме, где QR-разложения хессенберговых матриц формально используются, для экономии ресурсов они давно применяются в неявном виде, а именно в составе QR-итераций с неявным двойным сдвигом.