Метод ортогонализации
Основные авторы описания: Инжелевская Дарья Валерьевна(текст), А.В.Фролов(общая редактура)
Ортогонализация Грама-Шмидта — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}} строится множество ортогональных векторов {\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} или ортонормированных векторов {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} , причём так, что каждый вектор {\displaystyle \mathbf {b} _{j}} или {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} может быть выражен линейной комбинацией векторов {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}}. Данный процесс может быть использован для получения QR-разложения, в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.
Математические основы метода
Классический метод ортогонализации QR-разложения квадратной матрицы (вещественный вариант) довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, крайне редко применяется на практике.
Пусть имеются линейно независимые векторы \mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_N. Пусть оператор проекции вектора \mathbf{a} на вектор \mathbf{b} определён следующим образом: \mathbf{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = {\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \over \langle \mathbf{b}, \mathbf{b}\rangle} \mathbf{b} ,
где \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle — скалярное произведение векторов \mathbf{a} и \mathbf{b}.
Скалярное произведение для двух векторов \mathbf{ a= [a_1, a_2, ...,a_k]} и \mathbf{ b= [b_1, b_2, ..., b_k]} в k-мерном действительном пространстве определяется как:
- \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle=\sum_{i=1}^k a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+ a_kb_k.
Этот оператор проецирует вектор \mathbf{a} коллинеарно вектору \mathbf{b}.
Ортогональность векторов \mathbf{a} и \mathbf{b} достигается на шаге (2).
Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:
- {\begin{array}{lclr} {\mathbf {b}}_{1}&=&{\mathbf {a}}_{1}&(1)\\ {\mathbf {b}}_{2}&=&{\mathbf {a}}_{2}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}\,{\mathbf {a}}_{2}&(2)\\ {\mathbf {b}}_{3}&=&{\mathbf {a}}_{3}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}\,{\mathbf {a}}_{3}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}\,{\mathbf {a}}_{3}&(3)\\ {\mathbf {b}}_{4}&=&{\mathbf {a}}_{4}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}\,{\mathbf {a}}_{4}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}\,{\mathbf {a}}_{4}-{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{3}}}\,{\mathbf {a}}_{4}&(4)\\ &\vdots &&\\{\mathbf {b}}_{N}&=&{\mathbf {a}}_{N}-\displaystyle \sum _{{j=1}}^{{N-1}}{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{j}}}\,{\mathbf {a}}_{N}&(N) \end{array}}
На основе каждого вектора \mathbf{b}_j \;(j = 1 \ldots N) может быть получен нормированный вектор: \mathbf{e}_j = {\mathbf{b}_j\over \| \mathbf{b}_j \|} (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а норма — единичной). Норма в формуле - согласованная со скалярным произведением: \| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}
Результаты процесса Грама — Шмидта:
\mathbf{b}_1,\;\ldots,\;\mathbf{b}_N — система ортогональных векторов либо
\mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_N — система ортонормированных векторов.
Наиболее используемой на практике формой метода является вариант метода ортогонализации с переортогонализацией.