Уровень алгоритма

Поиск в ширину (BFS)

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Get Perf.Data


Алгоритм поиска в ширину (BFS)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность O(|V| + |E|)
Объём входных данных O(|V| + |E|)
Объём выходных данных O(|V|)
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы N/A, \max O(|V|)
Ширина ярусно-параллельной формы N/A, \max O(|E|)


Основные авторы описания: И.В.Афанасьев

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Поиск в ширину (англ. Breadth-First Search, BFS) позволяет вычислить кратчайшие расстояния (в терминах количества рёбер) от выделенной вершины ориентированного графа до всех остальных вершин, и/или построить корневое направленное дерево, расстояния в котором совпадают с расстояниями в исходном графе. Кроме того, поиск в ширину позволяет решать задачу проверки достижимости (существуют ли пути между вершиной источником и остальными вершинами графа). Впервые алгоритм поиска в ширину описан в работах Мура[1] и Ли[2].

Алгоритм основан на обходе вершин графа "по слоям". На каждом шаге есть множество "передовых" вершин, для смежных к которым производится проверка, относятся ли они к еще не посещенным. Все еще не посещенные вершины добавляются в новое множество "передовых" вершин, обрабатываемых на следующем шаге. Изначально в множество "передовых" вершин входит только вершина-источник, от которой и начинается обход.

В последовательном случае алгоритм имеет алгоритмическую сложность O(|V| + |E|), где |V| - число вершин в графе, |E| - число ребер в графе.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть задан граф G = (V, E) без весов, и с выделенной вершиной-источником u. Путем P(u,v) между вершинами u и v называется множество ребер (u, v_1), (v_1, v_2), ... (v_{n-1}, v). Длиной пути d(u,v) обозначим число ребер в данном пути между вершинами u и v. Поиск в ширину находит кратчайшие пути d(u,v) от вершины u до всех остальных вершин графа описанным далее образом.

В начале работы алгоритма расстояние до вершины-источника d(u)=0, до остальных вершин d(v) = \infty, \forall v \neq u . Также в начале работы алгоритма инициализируется множество F = \{u\}.

Далее на каждом шаге алгоритма строится множество вершин P = {w} , таких, что для \forall v \in F \exists (v, w) \in E | d(w) = \infty , при этом обновляются расстояния d(w)=d(v)+1 для \forall w \in P . Затем производится переход на следующий шаг до тех пор, пока P \neq \emptyset; при этом в начале каждого шага множество F заменяется на P.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является обход вершин, смежных с выбранной вершиной v, с последующим добавлением еще не посещенных вершин в множество P. Данная операция выполняется на каждом шаге для каждой вершины v \in F.

1.4 Макроструктура алгоритма

Алгоритм последовательно уточняет значения функции d(v).

Структуру можно описать следующим образом:

1. Инициализация: всем вершинам присваивается предполагаемое расстояние d(v)=\infty, кроме вершины-источника, для которой d(u)=0 .

2. Помещение вершины источника v в множество "передовых" вершин F.

3. Обход вершин множества F.

а) Инициализация множества P=\emptyset.

б) Для каждой вершины v \in F обход всех вершин w | \exists (v, w) (смежных с ней), c помещением в множество P таких вершин w | d(w)=\infty.

в) Замена множества F на P и переход на шаг 3 в случае, если множество F \neq \emptyset.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Простейшая версия алгоритма поиск в ширину может быть реализована при помощи очередей на языке C++ следующим образом. Код приведен в предположении, что граф хранится в формате сжатого списка смежности: для каждой вершины в массиве vertices_to_edges_ptrs хранятся индекс начала и индекс конца списка смежных с ней вершин из массива dst_ids.

// init distances
for(int i = 0; i < vertices_count; i++)
    _result[i] = MAX_INT;
    
// init queue and first vertex
std::queue<int> vertex_queue;
vertex_queue.push(_source_vertex);
_result[_source_vertex] = 1;
    
// do bfs
while(vertex_queue.size() > 0)
{
    int cur_vertex = vertex_queue.front();
    vertex_queue.pop();
        
    long long first = vertices_to_edges_ptrs[cur_vertex];
    long long last = vertices_to_edges_ptrs[cur_vertex + 1];
    for(long long i = first; i < last; i++)
    {
        int dst_id = dst_ids[i];
        if(_result[dst_id] == MAX_INT)
        {
            _result[dst_id] = _result[src_id] + 1;
            vertex_queue.push(dst_id);
        }
    }
}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Алгоритм имеет последовательную сложность O(|V| + |E|), где |V| и |E| - число вершин и ребер графа соответственно: алгоритм инициализирует начальный массив расстояний - O(|V|) операций, а затем обходит каждую вершину один единственный раз - O(|E|) операций. Данная оценка верна в случае, если формат хранения графа позволяет обходить вершины, смежные к выбранной (к примеру форматы списка смежности, сжатого списка смежности). При использовании других форматов оценка сложности может быть большей.

1.7 Информационный граф

Информационный граф классического алгоритма поиска в ширину приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Информационный граф алгоритма BFS.

На рисунке 1 используются следующие обозначения:

[1] - добавление вершины-источника u к множеству F.

[2] - извлечение добавленной вершины v из множества F.

[3] - проверка расстояний до вершин, смежных с вершиной v.

[4] - добавление еще не посещенных вершин в множество P.

[5] - замена множества F на P и проверка его пустоты. В случае непустого множества - переход на следующую итерацию, иначе завершение работы алгоритма.

Данный алгоритм имеет один важный недостаток при реализации: операция [4] требует бесконфликтной возможности добавления элементов в множество P, что, на практике, всегда будет сводиться к сериализации обращений к структуре данных, моделирующей данное множество.

В результате часто используется модификация алгоритма (далее алгоритм-2), использующая набор независимых структур данных для каждого из параллельных процессов. Информационный граф данного подхода приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Информационный граф алгоритма BFS (независимые структуры данных).

Обозначения для рисунка 2:

[1] - добавление вершины-источника в множество F.

[2] - разделение данных множества F между процессами

[3] - помещение в множества F_i соответствующих данных из F каждым процессом с номером i.

[4] - извлечение очередной вершины из множеств F_i, обход её соседей и добавление их в множество P_i в случае, если они еще не посещены

[5] - попарное слияние множеств P_i для различных процессов, итоговое преобразование их в множество F.

[6] - проверка условия выхода из цикла

Кроме того, в случае, если реализация структур данных, моделирующих множества F и P, невозможна, может использоваться квадратичный по сложности алгоритм, схожий с алгоритм Беллмана-Форда. Основная идея заключается в том, что на каждом шаге производится обход всех ребер графа с обновлением текущего массива дистанций. Информационный граф данной модификации алгоритма приведен на рисунке 3.

Рисунок 3. Информационный граф алгоритма BFS (квадратичный подход к распараллеливанию).

Обозначения для рисунка 3:

[1] - инициализация расстояний до вершины-источника

[2] - инициализация расстояний до остальных вершин графа

[3] - загрузка информации об очередном ребре и обновление дистанций до соответствующих вершин.

[4] - проверка условия выхода из цикла

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

В ходе работы классический вариант алгоритма обходит граф по слоям. В каждый слой добавляются еще не посещенные вершины, достижимые из вершин предыдущего слоя. Обход вершин каждого слоя, как и их соседей, может производиться параллельно. Точно оценить число вершин в каждом слое невозможно в силу того, что их количество зависит от структуры связанности входного графа. Аналогично невозможно оценить число шагов алгоритма, за которое будут найдены все кратчайшие пути.

Произведем оценку ширины ярусно-параллельной формы алгоритма через максимальное число вершин p в слое среди всех шагов алгоритма. Тогда число параллельных операций на данном слое будет равно сумме числа смежных вершин для каждой вершины слоя: \sum_{n=1}^{p} degree(v_i), при этом для каждого слоя данное значение будет различным. Высота ярусно-параллельной формы будет равна числу шагов в алгоритме и может быть оценена только сверху (не более |V|).

При квадратичном подходе к параллельной реализации алгоритма на каждом шаге выполняется O(|E|) операций, которые могут быть выполнены параллельно; таким образом, ширина ЯПФ данной модификации алгоритма равна O(|E|). Число шагов алгоритма, как и в классическом случае, зависит от структуры графа и может быть оценено сверху как O(|V|).

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: граф G(V, E), |V| вершин v_i и |E| рёбер e_j = (v^{(1)}_{j}, v^{(2)}_{j}), вершина-источник u.

Объём входных данных: O(|V| + |E|).

Выходные данные (возможные варианты):

  1. для каждой вершины v исходного графа расстояние d(v), определенное как число ребер, лежащих на кратчайшем пути от вершины u к v.
  2. для каждой вершины v исходного графа значение достижимости (достижима или нет) от вершины-источника u.

Объём выходных данных: O(|V|).

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.3 Результаты прогонов

2.4 Выводы для классов архитектур

3 Литература

  1. Moore, Edward F. “The Shortest Path Through a Maze,” International Symposium on the Theory of Switching, 285–92, 1959.
  2. Lee, C Y. “An Algorithm for Path Connections and Its Applications.” IEEE Transactions on Electronic Computers 10, no. 3 (September 1961): 346–65. doi:10.1109/TEC.1961.5219222.