Участник:Kisel dv/DNS алгоритм умножения матриц

Автор: Д.В.Кисель

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм DNS(Dekel, Nassimi, Sahni - назван по фамилиям создателей) является одним из блочных алгоритмов решения задачи [math]C = AB[/math]  перемножения двух матриц. Для данного алгоритма мы не используем какие-либо свойства матриц [math]A[/math]  и [math]B[/math] . DNS основан на блочном разделении данных, его преимуществом является временная сложность [math]O(log(n))[/math]  при вычислительной сложности [math]O(\frac{n^3}{log(n)})[/math] . Достигается это за счет 3d-секционирования(англ. partitioning), в отличие от альтернатив, использующих 2d-секционирование(например, алгоритм Кэннона). Тем самым, алгоритм DNS представим в виде куба, где матрицы [math]A[/math] , [math]B[/math]  и матрица [math]C[/math]  ортогональны друг другу. Далее данное описание будет рассмотрено подробнее.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: матрицы [math]A[/math]  и [math]B[/math]  с блоками [math]A_{ij}[/math]  и [math]B_{ij}[/math] , соответственно.

Вычисляемые данные: матрица [math]C[/math]  с блоками [math]C_{ij}[/math] 

Используемые формулы:

[math]C_{ij} = \sum_{k=0}^{m-1} A_{ik} B_{kj} \quad i \in [0, m-1], \quad j \in [0, m-1] [/math] , где [math] m \times m [/math]  - количество блоков матрицы.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро перемножения матриц методом DNS состоит из вычислений всех элементов блоков матрицы-результата: процедур вычислений умножения блоков матрицы [math] A [/math]  на блоки матрицы [math] B [/math] 

[math]\sum_{k=0}^{m-1} A_{ik} B_{kj} \quad i \in [0, m-1], \quad i \in [0, m-1] [/math] 

1.4 Макроструктура алгоритма

В алгоритме используется:

[math] \cdot [/math]  произведение блоков матриц [math] A [/math]  и [math] B [/math] 

[math]\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}[/math] 

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Обнулим матрицу [math]C[/math] , предназначенную для записи полученного результата произведения [math]C = AB[/math] . Рассмотрим блоки матриц: [math]A_{ij}, B_{ij}, C_{ij}[/math] . В цикле выполним последовательное умножение блоков матриц операндов и суммирование результатов.

[math]C_{ij} = \sum_{k=0}^{m-1} A_{ik} B_{kj} \quad i \in [0, m-1], \quad j \in [0, m-1] [/math] 

В результате получаем матрицу [math]C[/math] , равную произведению матриц [math]A[/math]  и [math]B[/math] .

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Рассматриваем матрицы размером [math]n \times n[/math] , разбитые на [math]m \times m[/math]  блоков размера [math]\frac{n}{m}[/math] .

Для умножение данных матриц в последовательном варианте требуется по [math] n^3 [/math]  умножений и сложений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, алгоритм умножения матриц относится к алгоритмам с кубической сложностью.

1.7 Информационный граф

Серым на графе помечен этап, в котором происходит считывание матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] и их запись в "смежные грани куба".

Далее как бы проецируем каждый блок матрицы на каждую плоскость куба из процессов(на каждую плоскость, параллельную рассматриваемой матрице, см.рисунок выше), таким образом в каждом из них будет выполняться свое умножение уникальной комбинации блоков("синий" этап).

Зеленым обозначен этап суммирования и вывода результата - матрицы [math]C[/math].

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

[math] \cdot [/math]  Рассмотрим [math]m^3[/math]  процессов, доступных для умножения двух матриц размером [math]n \times n[/math] , разбитых на [math]m \times m[/math]  блоков. Представим их в виде трехмерного массива [math] m \times m \times m[/math] .

[math] \cdot [/math]  Процессы именованы согласно их расположению в массиве, соответственно, вычисление произведения [math] A_{ik}B_{kj} [/math]  присвоено процессу с координатами [math] [i, j, k] (0 \leq i,j,k \lt m) [/math] .

[math] \cdot [/math]  После того, как каждый процесс завершил умножение, результаты процессов [math] [i, j, 0], [i, j, 1], ..., [i, j, m-1] [/math]  суммируются в [math] C_{ij} [/math] . Суммирование всех [math] C_{ij} [/math]  может выполняться одновременно за [math] log(m) [/math]  шагов.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]), матрица [math]B[/math] (элементы [math]b_{ij}[/math])).

Объём входных данных: [math]2n^2[/math]

Выходные данные: матрица [math]C[/math] (элементы [math]c_{ij}[/math]).

Объём выходных данных: [math]n^2[/math]

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.1 Масштабируемость алгоритма

Рассматривались квадратные матрицы размерностью [math]N[/math], где [math]500\leqslant N \leqslant 2000[/math], а число процессов изменялось от [math]2[/math] до [math]128[/math]. Для примера посмотрим как изменялось время выполнения программы в зависимости от числа процессов (здесь берутся матрицы размера [math]N = 2000[/math])

Размер блоков, на которые разбивается матрица, выбирается по оптимальному принципу: целая часть от [math]\frac{N}{q^{\frac{1}{3}}}[/math], где [math]N, q[/math], соответственно, размер матрицы и количество процессов.

Число процессов	Время (с)
128	0.976
64	2.245
32	6.012
16	18.012
8	18.153
4	162.214

Приблизительно одинаковые результаты по времени на количестве процессов, равном 8 и 16, обусловлены равным числом по факту используемых процессов в программе, поскольку деление в данных двух случаях будет происходить на равные блоки(выше указана оптимальная формула для количества блоков).

Проиллюстрируем данные графиком:

А теперь посмотрим на зависимость времени выполнения программы от размера матриц. Число процессов зафиксируем равным [math]64[/math].

Размер матриц	Время (с)
2000	2.245
1500	0.814
1000	0.232
750	0.094
500	0.027

Проиллюстрируем данные графиком:

3d-график:

Очевидно, что система хорошо масштабируема.

2.4.2 Характеристики программно-аппаратной среды

Все вычисления были произведены на суперкомпьютере "Ломоносов".

Для компиляции был использован компилятор языка C++ GNU 4.4.6, реализация MPI: Intel MPI 4.0.3. При компиляции использована опция -lm (подключение библиотеки math).

Вычисления производились в очереди test. Ограничений на лимит времени на узел наложено не было.

2.7 Существующие реализации алгоритма

DNS алгоритм не очень распространен в Интернете, сравнительно просто отыскать лишь текстовое описание данного способа умножения матриц. Чуть более трудной, однако выполнимой задачей будет нахождение его реализации, например, на github.