Участник:Midmedian/Алгоритм Федуччи-Маттеуса
Автор описания: И.А.Бабкин
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритмов
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритмов
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм Федуччи-Маттеуса (FM-алгоритм)[1] является эвристикой для оптимального разделения гиперграфа на два непересекающихся блока (подграфа) с минимальным количеством разрезанных сетей (гиперрёбер) за линейной время.
1.2 Математическое описание алгоритма
Пусть дан гиперграф [math]P=(C,N)[/math], где [math]C[/math] - это пронумерованный набор ячеек (вершин), соединённых пронумерованным набором сетей [math]N[/math]. Гарантируется, что гиперграф состоит как минимум из двух ячеек и что каждая из ячеек содержится хотя бы в одной из сетей.
Количество ячеек в [math]i[/math]-ой сети обозначим как [math]n(i)[/math], а размер [math]j[/math]-ой ячейки (количество сетей, в которые входит ячейка) за [math]s(j)[/math].
Размер блока [math]B[/math] определим, как
- [math]|B|=\sum\limits_{i=1}^{|N|} n(i)=\sum\limits_{i=1}^{|C|} s(i)[/math].
Задача заключается в разделении [math]P[/math] на непересекающиеся блоки [math]A[/math] и [math]B[/math] размерами [math]|A|[/math] и [math]|B|[/math] соответственно так, чтобы выполнялось условие
- [math]\frac{|A|}{|A|+|B|} \cong r[/math],
где [math]r[/math] - коэффициент разделения ([math]0 \lt r \lt 1[/math]).
Прирост [math]i[/math]-ой ячейки, находящейся в некотором блоке [math]B[/math], определим, как
- [math]\Delta g(i)=FS(i)-TE(i)[/math][2],
где [math]FS(i)[/math] - количество разрезанных сетей, связанных только с [math]i[/math]-ой ячейкой (и никакой другой из блока [math]B[/math]), а [math]TE(i)[/math] - количество неразрезанных сетей, связанных с [math]i[/math]-ой ячейкой.
Максимальный положительный прирост [math]G_n[/math] определим, как максимальную сумму приростов ячеек за префикс прохода, состоящего из [math]n[/math] шагов:
- [math]G_n=\sum\limits_{i=1}^{n} \Delta g_i[/math].
Ячейка называется базовой, если среди всех ячеек блока она обладает наибольшим приростом.
Теперь можно перейти к непосредственному описанию FM-алгоритма. На вход подаётся пара блоков:
1. Вычисляем приросты всех ячеек. [math]i=1.[/math]
2. Среди возможных незафиксированных базовых ячеек выбираем ту, при перемещении которой соблюдается критерий алгоритма. Перемещаем её.
3. Фиксируем выбранную базовую ячейку. Перевычисляем приросты всех незафиксированных ячеек, связанных с выбранной разрезанной сетью.
4. Если все ячейки зафиксированы, то переходим на следующий шаг. Иначе, [math]i:=i+1[/math], возвращаемся на второй шаг.
5. Определяем наилучший префикс ячеек [math]c_1, \dots, c_n[/math] ([math]1 \lt n \lt i[/math]) для максимизации [math]G_n[/math]. Если [math]G_n \gt 0[/math], то переходим на следующий шаг, иначе заканчиваем алгоритм.
6. Выполняем полученный проход из [math]n[/math] шагов и возвращаемся на первый шаг.
