Участник:Liebeann/Принадлежность точки многоугольнику

Автор статьи: Липкина Анна

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

На плоскости дан произвольный многоугольник с [math]N[/math] вершинами и точка [math]X[/math]. Требуется определить положение точки относительно многоугольника: находится ли точка внутри многоугольника, на его границе, совпадает с вершиной или находится вне многоугольника.

1.2 Математическое описание алгоритма

Дано: Многоугольник [math]P[/math]с [math]N[/math] вершинами и точка [math]X[/math]. Каждая вершина многоугольника и точка [math]X[/math] описываются парой координат [math](x, y)[/math].

Обозначения:

• [math]int(P)[/math] — множество строго внутренних точек многоугольника [math]P[/math];
• [math]V(P) = \{v_0, v_2, \dots, v_{N - 1} \}[/math] — упорядоченноый набор точек, являющихся вершинами многоугольника [math]P[/math];
• [math]D(P)[/math] — множество граничных точек многоугольника [math]P[/math], без учета вершин многоугольника;
• [math]out(P)[/math] — множество строго внешних по отношению к [math]P[/math] точек;
• [math]\delta_{\varepsilon}(X)[/math] — [math]\varepsilon[/math]-окрестность точки [math]X[/math], или это следующее множество точек: [math]\{x \in \mathbb{R}^2 | \rho(x, X) \leqslant \varepsilon \}[/math], где [math]\rho(A, B) = \sqrt{(A_x - B_x)^2 + (A_y - B_y) ^ 2}[/math] — Евклидово расстояние между точками [math]A[/math] и [math]B[/math], а [math]A = (A_x, A_y)[/math] — точка, задающаяся своими координатами по осям.

Выход: вывести:

• 1, если [math]X \in int(P)[/math]
• 2, если [math]X \in V(P)[/math]
• 0, если [math]X \in D(P)[/math]
• -1, если [math]X \in out(P)[/math]

Алгоритм:

1) Сначала проверим, принадлежит ли [math]X[/math] множеству [math]V(P)[/math]. Для этого достаточно перебрать все вершины [math]V(P)[/math] и для каждой проверить, лежит ли [math]X[/math] в маленькой [math]\varepsilon[/math]-окрестности текущей вершины многоугольника. Более формально:

для всех v принадлежащих V(P):
   если X принадлежит епсилон-окрестности v:
        вернуть 2

2) Если точка не совпадает ни с одной вершиной, то проверим, принадлежит ли [math]X[/math] множеству [math]D(P)[/math]. Для этого переберем все ребра многоугольника [math](v_i, v_{i + 1})[/math] и посчитаем следующие величины:

Пусть [math]v_i^l = v_i - X, v_i^r = v_{(i + 1) \% N} - X[/math]

[math]s_i = \langle v_i^l, v_i^r \rangle [/math] — скалярное произведение векторов [math]v_i^l, v_i^r[/math]

[math]t_i = v_i^l \times v_i^r[/math] — модуль вектора, полученного векторным произведением векторов [math]v_i^l, v_i^r[/math]

Теоретически, точка лежит на ребре (строго, не совпадает ни с одной из вершин ребер), если [math]s_i \lt 0[/math] и [math]d_i = 0[/math].

Практически, равенство нулю нужно превратить в [math]|d_i| \leqslant \varepsilon [/math].

Если все условия выполнены, то возвращаем 0.

3) Если [math]X \notin V(P)[/math] и [math]X \notin D(P)[/math]:

Посчитаем следующую сумму ориентированных углов:

[math]S = \sum_{i=0}^{N - 1} angle (v_i - X, v_{(i + 1) \% N} - X)[/math]

где [math]angle(a, b)[/math] — ориентированный угол между векторами [math]a[/math] и [math]b[/math].

Есть следующие два варианта:

• [math]|S| \lt \varepsilon \Rightarrow X \in out(P) [/math]
• [math]|S| \in \delta_{\varepsilon}(2 \pi) \Rightarrow X \in int(P)[/math]

Замечание: здесь вводятся [math]\varepsilon[/math] - окрестности из-за того, что работа происходит с вещественными числами.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Как нетрудно видеть, сложность выполнения каждого из шагов 1) – 3) равна [math]O(N)[/math]. Но в данной задаче есть один нюанс — сложность чтения данных составляет также [math]O(N)[/math]. Причем, скорость чтения данных с диска гораздо медленее, чем оперирование с данными в процессе выполненения программы, поэтому, если говорить честно, то основная сложность алгоритма приходится именно на чтение данных (что впоследствии и будет видно на графиках сильной масштабируемости). Но проблема в том, что чтение с диска достаточно плохо параллелится (с точки зрения времени чтения), то есть является "узким местом" алгоритма.

Поэтому, будем считать, что данные уже лежат в памяти программы (то есть чтение данных не вносит значительный вклад в время работы алгоритма) (такое запросто может быть, так как выбранный алгоритм спокойно может быть подзадачей какой-то программы), и тогда, основная сложность алгоритма придется на шаги 1) – 3). Формально, я продолжу писать, что данные считываются из памяти.

1.4 Макроструктура алгоритма

0) Чтение входных данных: точка [math]X[/math] и многоугольник [math]P[/math];

1) Проверка принадлежности [math]X[/math] набору [math]V(P)[/math];

2) Проверка принадлежности [math]X[/math] множеству [math]D(P)[/math];

3) Проверка принадлежности [math]X[/math] множеству [math]int(P)[/math].

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Псевдокод алгоритма:

# Ввод данных
X = input_point()
P = input_polygon()

if is_one_of_vertex(X, P): # Если точка X является одной из вершин многоугольника
   print(2)
else if is_one_of_edge(X, P): # Если точка X лежит на одном из ребер многоульника
   print(0)
else if is_inside(X, P): # Если точка X строго внутри многоугольника
   print(1)
else: # Если точка X строго снаружи многоугольника
   print(-1) 

1.6 Последовательная сложность алгоритма

В силу описания предложенного алгоритма с разделе на п.1.2, время работы всего алгоритма линейное от количества вершин многоульника [math]P[/math], то есть([math]O(N)[/math] операций) (под операциями здесь подразумеваются сложения и умножения чисел).

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Как нетрудно видеть, вычислительное ядро алгоритма легко параллелится: достаточно каждому процессу [math]p_i[/math] дать свой "кусок" (ломанную последовательных вершин многоугольника) [math]P_{p_i}[/math] так, чтобы в объединении эти ломанные давали весь многоугольник, а сами ломанные могут пересекаться только по вершине. Далее посчитаем для каждого процесса следующие величины:

1) [math]\text{vertex_flag}_{p_i}[/math] — принадлежность точки [math]X[/math] одной из вершин [math]P_{p_i}[/math];

2) [math]\text{edge_flag}_{p_i}[/math] — принадлежность точки [math]X[/math] одному из ребер [math]P_{p_i}[/math];

3) [math]\text{angle_sum}_{p_i}[/math] — сумма ориентированных углов, описанная в на п.1.2 в применении к [math]P_{p_i}[/math] (естественно, без замыкания этой ломанной по первой вершине).

Теперь, чтобы получить исходный ответ, посчитаем следующие величины:

1) [math]\text{vertex_flag} = \bigvee \limits_{p_i} \text{vertex_flag}_{p_i}[/math], [math]\bigvee[/math] — логическое ИЛИ;

2) [math]\text{edge_flag} = \bigvee \limits_{p_i} \text{edge_flag}_{p_i}[/math];

3) [math]\text{angle_sum} = \sum \limits_{p_i} \text{angle_sum}_{p_i}[/math];

На основе этих величин, очевидно, делается вывод о расположении точки [math]X[/math] относительно многоугольника [math]P[/math].

Так как оптимальнее всего распределить данные между процессами равномерно, то будем считать, что каждому процессу приходит примерно [math]\left[\dfrac{N}{K}\right][/math] последовательных вершин, где [math]K[/math] — количество процессов.

Тогда сложность алгоритма составит: [math]O\left(\left[\dfrac{N}{K}\right]\right) + O(K)[/math]

Первое слагаемое — параллельный подсчет величин [math]\text{vertex_flag}_{p_i}, \text{edge_flag}_{p_i}, \text{angle_sum}_{p_i}[/math] каждым процессом [math]p_i[/math].

Второе слагаемое — получение из этих величин посредством логического или алгебраического суммирования величин [math]\text{vertex_flag}, \text{edge_flag}, \text{angle_sum}[/math].

Если [math]K^2 \lt N[/math], то основной вклад в сумму будет вносить член [math]O\left(\left[\dfrac{N}{K}\right]\right)[/math].

Иначе, итоговая сложность будет равна [math]O(K)[/math].

3 Литература

http://ru-wiki.org/wiki/Задача_о_принадлежности_точки_многоугольнику https://habrahabr.ru/post/301102/ http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Принадлежность_точки_выпуклому_и_невыпуклому_многоугольникам http://www.e-maxx-ru.1gb.ru/algo/pt_in_polygon