Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации)

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков $n$, что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.

Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых $k$ собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы $A$ соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы $A$ [2, с.381].

В данной статье рассматривается вариант алгоритма Ланцоша, в котором опущено влияние ошибок округления на вычислительный процесс, хотя на практике этому посвящается отдельное внимание и существуют различные методы решения данной проблемы.

1.2 Математическое описание алгоритма

Для лучшего понимания описания, данного в этом пункте статьи, рекомендуется ознакомиться с параграфом 6.6 Методы Крыловского подпространства [2, с.313]. Здесь же дано краткое описание всех переменных, математических операций и необходимый теоретический минимум.

Алгоритм Ланцоша для вычисления $k$ собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы $A=A^T$ в точной арифметике [2, с.381] :

$\begin{align} q_1 = & b/ \|b\|_2,\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & j = 1 \; to \; k \\ & z = Aq_j\\ & \alpha_j = q^T_j z\\ & z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1}\\ & \beta_j = \|z\|_2\\ & If \; \beta_j == 0 \; then\; stop\; the\; algorithm \\ & \; q_{j+1} = z / \beta_j \\ & compute\; eigenvalues\; and \;eigenvectors\;of \;matrix \;T_j\;and\;estimate \;the\; errors\\ end \; & for \end{align}$

В продемонстрированном выше алгоритме $b$ - заданный вещественный вектор. Также полагается известным алгоритм вычисления произведения матрицы $A$ на вектор $x$. Введём матрицу Крылова, определяемую следующим соотношением: $K_j = [b,Ab,A^2b,...,A^{j-1}b]$.

Далее, на практике, матрица $K$ заменяется матрицей $Q$, такой, что при любом числе $k$ линейные оболочки первых $k$ столбцов в $K$ и $Q$ являются одним и тем же подпространством [2,c.315]. Тогда матрица $Q$, в отличие от матрицы $K$, хорошо обусловлена и легко обратима. В результате получаем матрицу $Q_j = [q_1, q_2, \dots, q_j]$ размерности $n \times j$, столбцы которой ортогональны и являются базисом подпространства Крылова.

В алгоритме Ланцоша вычислению подлежит столько первых столбцов в матрице $Q_j$, сколько необходимо для получения требуемого приближения к решению $A\,x\,=b\,\,(A\,x=\lambda \, x)$.

Затем на каждом шаге цикла формируем симметричную трёхдиагональную матрицу $T_j = Q^T_j A Q$, к которой применяем процесс Рэлея-Ритца для поиска её собственных значений. Эти собственные значения, они же числа Ритца, и полагаются приближёнными собственными значениями исходной матрицы $A$.

3 Литература

[1] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391