Уровень алгоритма

Алгоритм Прима

Материал из Алговики
Перейти к: навигация, поиск


Содержание

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Прима[1][2] предназначен для решения задачи о построении минимального остовного дерева во взвешенном неориентированном графе.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть задан связный неориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] с весами рёбер [math]f(e)[/math]. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру).

Алгоритм Прима основан на следующих двух свойствах задачи:

  • Минимальное ребро фрагмента. Пусть [math]F[/math] – фрагмент минимального остовного дерева и [math]e_F[/math] – ребро наименьшего веса, исходящее из [math]F[/math] (т.е. ровно один его конец является вершиной из [math]F[/math]). Если ребро [math]e_F[/math] единственно, то оно принадлежит минимальному остовному дереву.
  • Схлопывание фрагментов. Пусть [math]F[/math] – фрагмент минимального остовного дерева графа [math]G[/math], а граф [math]G'[/math] получен из [math]G[/math] склеиванием вершин, принадлежащих [math]F[/math]. Тогда объединение [math]F[/math] и минимального остовного дерева графа [math]G'[/math] даёт минимальное остовное дерево исходного графа [math]G[/math].

В начале работы алгоритма создаётся фрагмент, содержащий одну произвольную вершину графа. На каждом шаге выбирается ребро минимального веса, исходящее из текущего фрагмента. Это ребро помещается в минимальное остовное дерево, а его конец добавляется в текущий фрагмент. Процесс останавливается, когда у текущего фрагмента не остаётся исходящих рёбер. Тогда выбирается одна из ранее не посещённых вершин графа, и начиная с неё «выращивается» новый фрагмент. Алгоритм прекращает работу, когда посещены все вершины графа.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Основной объём вычислений в алгоритме Прима приходится на поддержание набора рёбер, выходящих из текущего фрагмента. Необходимо добавлять новые рёбра или вершины в набор, и находить ребро с наименьшим весом.

  • При использовании списков вершин сложность [math]O(n^2)[/math].
  • При использовании бинарной кучи рёбер сложность [math]O(m \ln m)[/math].
  • При использовании бинарной кучи вершин и сортировке рёбер у каждой вершины сложность [math]O(m \ln n)[/math].
  • При использовании быстрой кучи[3] сложность [math]O(m + n \ln^2 n)[/math].
  • При использовании фибоначчиевой кучи[4] сложность [math]O(m + n \ln n)[/math].

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.2.1 Локальность реализации алгоритма

2.2.1.1 Структура обращений в память и качественная оценка локальности
2.2.1.2 Количественная оценка локальности

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.1 Масштабируемость алгоритма

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

  1. Prim, R C. “Shortest Connection Networks and Some Generalizations.” Bell System Technical Journal 36, no. 6 (November 1957): 1389–1401. doi:10.1002/j.1538-7305.1957.tb01515.x.
  2. Dijkstra, E W. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1, no. 1 (December 1959): 269–71. doi:10.1007/BF01386390.
  3. Navarro, Gonzalo, and Rodrigo Paredes. “On Sorting, Heaps, and Minimum Spanning Trees.” Algorithmica 57, no. 4 (March 23, 2010): 585–620. doi:10.1007/s00453-010-9400-6.
  4. Fredman, Michael L, and Robert Endre Tarjan. “Fibonacci Heaps and Their Uses in Improved Network Optimization Algorithms.” Journal of the ACM 34, no. 3 (July 1987): 596–615. doi:10.1145/28869.28874.