Уровень алгоритма

Алгоритм Тарьяна поиска «мостов» в графе

Материал из Алговики
Перейти к: навигация, поиск


Содержание

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Тарьяна [1] находит мосты в неориентированном графе за время [math]O(m)[/math].

Пусть [math]T[/math] – дерево в одной из компонент связности графа [math]G.[/math]

Выберем корневую вершину и введём обозначения:

[math]v-\gtw[/math], если в дереве имеется [math]e=(v,w)[/math], и вершина находится дальше от корня [math]r[/math], чем вершина [math]v[/math]. Далее будем считать дерево [math]T[/math] направленным графом, содержащим рёбра указанного вида.

[math]v=\gtw[/math], если в ориентированном дереве [math]T[/math] имеется направленный путь от [math]v[/math] к [math]w[/math].

[math]v***w[/math], если в графе [math]G[/math] существует ребро [math]e=(v,w)[/math], не принадлежащее дереву [math]T[/math].

[math]N(v)[/math] – нумерация вершин в обратном порядке обхода вершин (post-order). • [math]D(v)[/math] – количество потомков вершины [math]v[/math] в ориентированном дереве [math]T[/math], то есть . • [math]S(v)={w | v =\gt w \or \exist u(v =\gt u \and u***w}[/math]

[math]L(v) = \min S(v)[/math], [math]H(v) = \max S(v)[/math].

Алгоритм Тарьяна основан на следующем свойстве: ребро является мостом тогда и только тогда, когда [math]v-\gtw, H(w) \lt= N(w), L(w) \gt N(w) - D(w)[/math]

1.2 Математическое описание алгоритма

1. Для каждой компоненты связности графа найти какое-либо остовное дерево [math]T[/math]. 2. Перенумеровать вершины [math]T[/math] в порядке обратного обхода.

3. В порядке возрастания номера вершины выполнить следующие действия:

a. [math]D(v) := 1+ \sum_{v \rightarrow w}D(w) [/math]

b. [math] L(v) := \min { \{N(v) - D(v)+1 \} \cup \{ L(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]

c. [math] H(v) := \max { \{ N(v) \} \cup \{ H(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]

d. Пометить ребро [math]v \rightarrow w[/math] мостом, если [math]H(w)\lt=N(w)[/math] и [math]L(w)\gtN(w)-D(w)[/math].

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма составляет [math]O(|E|)[/math].

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм Тарьяна может работать с любым остовным деревом, поэтому можно применить эффективно параллелизуемый поиск в ширину. Последующие вычисления также могут быть параллелизованы.

Параллельный алгоритм Тарьяна-Вишкина[2] основан на аналогичных вычислениях и может быть адаптирован для поиска мостов.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.2.1 Локальность реализации алгоритма

2.2.1.1 Структура обращений в память и качественная оценка локальности
2.2.1.2 Количественная оценка локальности

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.1 Масштабируемость алгоритма

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

  1. Tarjan, R Endre. “A Note on Finding the Bridges of a Graph.” Information Processing Letters 2, no. 6 (April 1974): 160–61. doi:10.1016/0020-0190(74)90003-9.
  2. Tarjan, Robert Endre, and Uzi Vishkin. “An Efficient Parallel Biconnectivity Algorithm.” SIAM Journal on Computing 14, no. 4 (1985): 862–74.