Алгоритм Тарьяна поиска «мостов» в графе
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм Тарьяна [1] находит мосты в неориентированном графе за время [math]O(m)[/math].
Пусть [math]T[/math] – дерево в одной из компонент связности графа [math]G.[/math]
Выберем корневую вершину и введём обозначения:
• [math]v-\gt w[/math], если в дереве имеется [math]e=(v,w)[/math], и вершина находится дальше от корня [math]r[/math], чем вершина [math]v[/math]. Далее будем считать дерево [math]T[/math] направленным графом, содержащим рёбра указанного вида.
• [math]v=\gt w[/math], если в ориентированном дереве [math]T[/math] имеется направленный путь от [math]v[/math] к [math]w[/math].
• [math]v***w[/math], если в графе [math]G[/math] существует ребро [math]e=(v,w)[/math], не принадлежащее дереву [math]T[/math].
• [math]N(v)[/math] – нумерация вершин в обратном порядке обхода вершин (post-order).
• [math]D(v)[/math] – количество потомков вершины [math]v[/math] в ориентированном дереве [math]T[/math], то есть.
• [math]S(v)={w | v =\gt w \lor \exists u(v =\gt u \land u***w)}[/math]
• [math]L(v) = \min S(v)[/math], [math]H(v) = \max S(v)[/math].
Алгоритм Тарьяна основан на следующем свойстве: ребро является мостом тогда и только тогда, когда [math]v-\gt w, H(w) \lt = N(w), L(w) \gt N(w) - D(w)[/math]
1.2 Математическое описание алгоритма
1. Для каждой компоненты связности графа найти какое-либо остовное дерево [math]T[/math]. 2. Перенумеровать вершины [math]T[/math] в порядке обратного обхода.
3. В порядке возрастания номера вершины выполнить следующие действия:
a. [math]D(v) := 1+ \sum_{v \rightarrow w}D(w) [/math]
b. [math] L(v) := \min { \{N(v) - D(v)+1 \} \cup \{ L(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]
c. [math] H(v) := \max { \{ N(v) \} \cup \{ H(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} }[/math]
d. Пометить ребро [math]v \rightarrow w[/math] мостом, если [math]H(w)\lt =N(w)[/math] и [math]L(w)\gt N(w)-D(w)[/math].
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
1.4 Макроструктура алгоритма
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
1.6 Последовательная сложность алгоритма
Последовательная сложность алгоритма составляет [math]O(|E|)[/math].
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
Алгоритм Тарьяна может работать с любым остовным деревом, поэтому можно применить эффективно параллелизуемый поиск в ширину. Последующие вычисления также могут быть параллелизованы.
Параллельный алгоритм Тарьяна-Вишкина[2] основан на аналогичных вычислениях и может быть адаптирован для поиска мостов.
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
1.10 Свойства алгоритма
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
2.3 Результаты прогонов
2.4 Выводы для классов архитектур
3 Литература
- ↑ Tarjan, R Endre. “A Note on Finding the Bridges of a Graph.” Information Processing Letters 2, no. 6 (April 1974): 160–61. doi:10.1016/0020-0190(74)90003-9.
- ↑ Tarjan, Robert Endre, and Uzi Vishkin. “An Efficient Parallel Biconnectivity Algorithm.” SIAM Journal on Computing 14, no. 4 (1985): 862–74.