Двухкубитное преобразование вектора-состояния
Двухкубитное преобразование вектора-состояния | |
Последовательный алгоритм | |
Последовательная сложность | [math]5 \cdot 2^n[/math] |
Объём входных данных | [math]2^n+16[/math] |
Объём выходных данных | [math]2^n[/math] |
Параллельный алгоритм | |
Высота ярусно-параллельной формы | [math]2[/math] |
Ширина ярусно-параллельной формы | [math]2^{n+2}[/math] |
Основные авторы описания: А.Ю.Чернявский.
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм производит моделирования действия двухкубитного квантового вентиля на вектор-состояние. [1] [2] [3] [4] Данный алгоритм обычно является подпрограммой и многократно применяется к различным кубитам одного состояния (например при моделировании квантовых алгоритмов или анализе квантовой запутанности). Особенностью алгоритма, как и большинства алгоритмов квантовой инфоорматики, является экспоненциальный рост объема данных в зависимости от основного параметра - числа кубитов, что приводит к необходимости суперкомпьютерной реализации для решения важных практических задач.
1.2 Математическое описание алгоритма
Исходные данные:
-Целочисленные параметры [math]n - [/math] число кубитов (необязательно) и [math]k,l -[/math] номера кубитов, над которым производится преобразование.
-Комплексная матрица [math]U = {u_{ij}}= \begin{pmatrix} u_{00}^{00} & u_{01}^{00} & u_{10}^{00} & u_{11}^{00}\\ u_{00}^{01} & u_{01}^{01} & u_{10}^{01} & u_{11}^{01}\\ u_{00}^{10} & u_{01}^{10} & u_{10}^{10} & u_{11}^{10}\\ u_{00}^{11} & u_{01}^{11} & u_{10}^{11} & u_{11}^{11} \end{pmatrix}[/math] двухкубитного преобразования размера [math]4 \times 4.[/math] Верхние и нижние двойные индексы обозначают бинарную запись индексов [math]i[/math] и [math]j[/math] (такие обозначения сильно упрощают дальнейшее описание).
-Комплексный вектор [math]v[/math] размерности [math]2^n,[/math] задающей начальное состояние многокубитной системы.
Вычисляемые данные: комплексный вектор [math]w[/math] размерности [math]2^n,[/math] соответствующий состоянию после преобразования.
Формулы метода:
Элементы итогового вектора записываются в следующем виде:
- [math] w_{i_1i_2\ldots i_k \ldots i_l \ldots i_n} = \sum\limits_{j_k=0, j_l=0}^1 u^{j_k j_l}_{i_k i_l} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n} [/math]
Индекс-кортеж [math]i_1i_2\ldots i_n[/math] представляет собой двоичную запись индекса элемента в массиве.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительное ядро алгоритма представляет собой независимое вычисление всех [math]2^n[/math] элементов вектора [math]w.[/math] Вычисление каждого элемента требует четыре операции умножения и три операцию сложения. Кроме того необходимо вычислять индексы типа [math]i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n,[/math] а также значение битов [math]j_k,j_l[/math] что требует побитовых операций.
1.4 Макроструктура алгоритма
Как записано и в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют независимые вычсиления элементов выходного вектора.
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
Для каждого индекса [math]i[/math] от [math]0[/math] до [math]2^n-1[/math]
- Вычислить элементы [math]i_k, i_l[/math] двоичного представления индекса [math]i.[/math]
- Для всех четырех бинарных значений [math]j_k, j_l[/math] вычислить индексы [math]i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n[/math]
- Просуммировать [math]u^{j_k j_l}_{i_k i_l} v_{i_1i_2\ldots j_k \ldots j_l \ldots i_n}.[/math]
1.6 Последовательная сложность алгоритма
Алгоритм требует:
- [math]2^{n+2}[/math] операций умножения комплексных чисел;
- [math]3\cdot 2^n[/math] операций сложения комплексных чисел;
- [math]2^{n+1}[/math] операций получения значения [math]k[/math]-го бита числа;
- [math]2^{n+3}[/math] операций изменения значения [math]k[/math]-го бита числа.
Отметим, что данный алгоритм обычно применяется много раз подряд, в связи с чем вычисления, связанные с побитовыми операциями (3-4), могут единожды проводиться в начале алгоритма. Кроме того, от них можно избавиться, пользуясь сложением и логическим умножением с числами [math]2^l,[/math] и [math]2^k,[/math] которые сохраняется для всего алгоритма.
1.7 Информационный граф
Представим граф алгоритма для случаев [math]n=3, k=1, l=2[/math] (рис.1) и [math]n=3, k=1, l=3[/math] (рис.2). На графах не представлены матрицы преобразования [math]U,[/math] в связи с тем, что их размер при больших [math]n[/math] много меньше, нежели размеры входного и выходного векторов.
Отображение графа со входными и выходными данных, а также "свёрнутой" основной операцией удобно для понимания локальности обращений к памяти. Отметим, что структура графа (а именно обращение к входным данным) сильно зависит от параметров [math]k,l.[/math]
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
Как видно из информационного графа, прямой алгоритм моделирования однокубитного преобразования обладает высочайшей степенью параллелизма. Все операции вычисления элементов нового вектора-состояния могут быть произведены параллельно. Для вычисления одного элемента необходимо выполнить две операции умножения и одну операцию сложения, операции умножения, в свою очередь, также могут быть выполнены параллельно. Таким образом, необходимо выполнение двух ярусов: одного, состоящего из [math]2^{n+2}[/math] умножений и другого, состоящего из [math]3 \cdot 2^n[/math] сложений.
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные:
- Комплексный вектор состояния [math]u[/math] длины [math]2^n.[/math] Обычно нормирован на единицу.
- Унитарная матрица [math]U[/math] порядка [math]4[/math].
- Номера кубитов [math]k,l[/math].
Выходные данные:
- Комплексный вектор состояния [math]w[/math] длины [math]2^n[/math].
Объем входных данных: [math]2^n+16[/math] комплексных чисел и [math]2[/math] целочисленых параметра.
Объем выходных данных: [math]2^n[/math] комплексных чисел.
1.10 Свойства алгоритма
Соотношение последовательной и параллельной сложности является экспоненциальным (эксмпонента переходит в константу).
Вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – константа.
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
На языке C функцию двухкубитного преобразования можно записать следующим образом:
void TwoQubitsEvolution(complexd *in, complexd *out, complexd U[4][4], int nqubits, int q1, int q2)
{
//n - число кубитов
//q1, q2 - номера кубитов, над которыми производится преобразование
int shift1=n-q1;
int shift2=n-q2;
//Все биты нулевые, за исключением соответсвующего номеру первого изменяемого кубита
int pow2q1=1<<(shift1);
//Все биты нулевые, за исключением соответсвующего номеру второгоизменяемого кубита
int pow2q2=1<<(shift2);
int N=1<<nqubits;
for (int i=0; i<N; i++)
{
//Установка изменяемых битов во все возможные позиции
int i00 = i & ~pow2q1 & ~pow2q2;
int i01 = i & ~pow2q1 | pow2q2;
int i10 = (i | pow2q1) & ~pow2q2;
int i11 = i | pow2q1 | pow2q2;
//Получение значений изменяемых битов
int iq1 = (i & pow2q1) >> shift1;
int iq2 = (i & pow2q2) >> shift2;
//Индекс в матрице
int iq=(iq1<<1)+iq2;
out[i] = U[iq][(0<<1)+0] * in[i00] + U[iq][(0<<1)+1] * in[i01] + U[iq][(1<<1)+0] * in[i10] + U[iq][(1<<1)+1] * in[i11];
}
}
Особенности последовательной реализации аналогичны Особенности реализации последовательного алгоритма однокубитного преобразования.
2.2 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
2.3 Результаты прогонов
2.4 Выводы для классов архитектур
3 Литература
- ↑ [Д. А., Ожигов Ю. И., Чернявский А. Ю. Алгебраический аппарат квантовой информатики.]
- ↑ [О. В., Чернявский А. Ю. Практикум по суперкомпьютерным технологиям и квантовым вычислениям 3 курс.]
- ↑ Preskill J. Lecture notes for physics 229: Quantum information and computation //California Institute of Technology. – 1998.
- ↑ Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. – М : Мир, 2006.