Метод Хаусхолдера (отражений) QR-разложения хессенберговой матрицы (вещественный вариант)
Метод Хаусхолдера (в советской математической литературе чаще называется методом отражений) используется для разложения матриц в виде [math]A=QR[/math] ([math]Q[/math] - унитарная, [math]R[/math] — правая треугольная матрица)[1]. При этом матрица [math]Q[/math] хранится и используется не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения[2].
Матрица отражений (Хаусхолдера) - матрица вида [math]U=E-2ww^*[/math], где [math]w[/math] - вектор, удовлетворяющий равенству [math]w^{*}w=1[/math]. Является одновременно унитарной ([math]U^{*}U=E[/math]) и эрмитовой ([math]U^{*}=U[/math]), поэтому обратна самой себе ([math]U^{-1}=U[/math]).
Поскольку для QR-разложения хессенберговой матрицы нужно "обнулить" только элементы одной диагонали, то, в отличие от стандартной реализации метода Хаусхолдера для плотной квадратной матрицы, для него нужно выполнять операции отражения с базой на приведении двумерных векторов к одному из ортов, то есть этот алгоритм квадратичен по порядку выполняемых операций. Критический путь этого алгоритма, как и в случае метода Гивенса, от которого метод Хаусхолдера отличается только коэффициентами в матрицах, линеен.
Алгоритм, однако, в своём чистом виде практически не используется. Дело в том, что в QR-алгоритме, где QR-разложения хессенберговых матриц формально используются, для экономии ресурсов они давно применяются в неявном виде, а именно в составе QR-итераций с неявным двойным сдвигом[3].
